INICIOEjercicios del teorema de Rolle
SELECTIVIDAD
Sea la función f(x) = 4 + 3√x8
Comprobar si es aplicable el teorema de Rolle a la función en el intervalo [-1, 1] .
El teorema de Rolle establece que si una función verifica las siguiente hipótesis:
• continua en el intervalo [a, b]
• derivable en (a, b)
• f(a) = f(b)
Entonces existe un punto c∈(a, b) tal que f ' (c) = 0
Por tratarse de una función irracional de raiz impar (n = 3) la función es continua en el intervalo [-1, 1] y derivable en (1, 1) .
Además, tenemos que: f(-1) = 4 + 3√(-1)8 = 4 + 1 = 5 y f(1) = 4 + 3√18 = 4 + 1 = 5
Por lo tanto se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle, es decir, existe un punto c∈(-1, 1) tal que f ' (c) = 0
Es decir, el punto es: (0, 4)
SELECTIVIDAD
Enunciar el teorema de Rolle. ¿Es aplicable a la siguiente función? ¿Por qué?
El teorema de Rolle establece que si una función verifica las siguiente hipótesis:
• continua en el intervalo [a, b]
• derivable en (a, b)
• f(a) = f(b)
Entonces existe un punto c∈(a, b) tal que f ' (c) = 0
• CASO I:
Dentro del intervalo [1, 3] no existe ningún intervalo [a, b] tal que f(a) = f(b) por lo que no se cumple el teorema de Rolle.
• CASO II:
Dentro del intervalo [3, 5] no existe ningún intervalo [a, b] tal que f(a) = f(b) por lo que no se cumple el teorema de Rolle.
• CASO III:
Si tomamos el intervalo [a, b] contenido en el intervalo [1, 5] , por ejemplo el intervalo [1, 4] tenemos que f(1) = f(4) = 3 tampoco podríamos aplicar el teorema de Rolle puesto que la función no es continua en x = 3 , ya que los límites laterales no coinciden:
Por lo tanto f(x) no cumple las condiciones del teorema de Rolle.
SELECTIVIDAD
Compruebe que se verifican las hipótesis del teorema de Rolle para la función f(x) = 3·cos2x en el intervalo [π/2, 3π/2] . Calcule también el valor al cual se refiere la tesis del teorema.
El teorema de Rolle establece que si una función verifica las siguiente hipótesis:
• continua en el intervalo [a, b]
• derivable en (a, b)
• f(a) = f(b)
Entonces existe un punto c∈(a, b) tal que f ' (c) = 0
Comprobamos por tanto que la función cumple las hipótesis del teorema:
• La función es continua en [π/2, 3π/2] puesto que lo es en todo R
• La función es derivable en (π/2, 3π/2) ya que la función coseno es derivable
• f(π/2) = f(3π/2) = 0
Entonces existe un punto c∈(π/2, 3π/2) tal que f ' (c) = 0
El único punto c∈(π/2, 3π/2) es x = π ⇒ f ' (π) = 0
SELECTIVIDAD
Sea la función:
Para cada uno de los dos intervalos siguientes, razona si es o no aplicable el teorema de Rolle, y, en caso de serlo, calcula el punto en el que la derivada se anula:
a) Para el intervalo [-2, 2]
b) Para el intervalo [3/2, 3+(π/3)]
Cada una de las ramas de la función son funciones continuas y derivables en toda la recta real, por lo que tenemos que estudiar los puntos de unión para cada uno de los intervalos que nos piden.
a) [-2, 2]
En el intervalo [-2, 2] hay un punto problemático en x = 0 .
Por lo tanto la función es continua en el intervalo [-2, 2] .
A continuación estudiamos la derivabilidad en x = 0 aplicando la definición:
Por lo tanto la función es derivable en el intervalo (-2, 2)
Además, se cumple que: f(-2) = 2 = f(2)
Es decir, la función cumple las hipótesis del teorema de Rolle, luego existe un punto c∈(-2, 2) tal que f ' (c) = 0
Como en el intervalo (0, 3) se cumple que f ' (x) = 1 el punto c tiene que estar en el intervalo (-2, 0).
Por lo tanto f ' (c) = 2c + 1 = 0 ⇒ c = 1/2
b) [3/2, 3+(π/3)]
Al igual que antes, tenemos que estudiar el punto de unión entre las ramas que conforman el intervalo.
Por lo tanto la función es continua en el punto x = 3 .
A continuación estudiamos la derivabilidad en x = 3 aplicando la definición:
Por lo tanto la función no es derivable en el punto x = 3 , es decir , la función no cumple las hipótesis del teorema de Rolle.
SELECTIVIDAD
¿ Satisface la función f(x) = 1 - | x | las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-1, 1] ?
• La función f(x) es continua en el intervalo [-1, 1] puesto que la función 1+ x es continua, la función 1 - x es continua y además es continua en x = 0 :
• La función f(x) es derivable en todo el intervalo (-1, 1) puesque que no lo es para x = 0 ya que sus límites laterales no coinciden:
Por lo tanto f(x) no cumple las condiciones del teorema de Rolle.
SELECTIVIDAD
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función
b) Razonar si se puede aplicar, o no, el teorema de Rolle en el intervalo [-1/2, 1/2]
c) En caso afirmativo, calcular el punto c∈(-1/2, 1/2) al que se refiere el teorema
a) La función no está definida en los puntos x = -1 y x = 1 puesto que dichos valores anulan al denominador. Por lo tanto la función no es continua ni derivable en dichos puntos.
Al tener un valor absoluto en el numerador, la función se define de la siguiente manera:
Aparte de los puntos indicados anteriormente, tenemos que estudiar la continuidad y la derivabilidad para x = 0 pues en dicho punto la función cambia de rama.
Por lo tanto la función es continua en x = 0
Por lo tanto la función no es derivable en x = 0
b) La función es continua en el intervalo [-1/2, 1/2] pero no es derivable en el intervalo (-1/2, 1/2) puesto que no es derivable en x = 0 .
Por lo tanto, no se puede aplicar el teorema de Rolle.
SELECTIVIDAD
¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f(x) = | cos x | en el intervalo [0, π] ?
Por tratarse de una función con valor absoluto tenemos que definirla según los valores que toma la función:
La función es continua en el intervalo [0, π] puesto que la función cos x continua en todo R y además se cumple que: cos(π/2) = 0 = - cos(π/2)
Por otra parte, la función es derivable en (0, π/2) y en (π/2, π) por lo que solamente tenemos que estudiar la derivabilidad en el punto: x = π/2
Por lo tanto, la función no es derivable en el punto x = π/2 por lo que no cumple una de las hipótesis del teorema de Rolle.
SELECTIVIDAD
Sea g(x) la función definida mediante:
¿ Para qué valores de a puede aplicarse el teorema de Rolle a la función g(x) en el intervalo [-1, 1] ? Contestar razonadamente
Para que se cumpla el teorema de Rolle tiene que darse las siguientes hipótesis:
• continua en el intervalo [-1, 1]
• derivable en (-1, 1)
• g(-1) = g(1)
El único punto donde pueden no cumplirse estas hipótesis es en x = 0
• La condición para que g(x) sea continua en x = 0 es :
Por lo tanto la función g(x) es continua en el intervalo [-1, 1] para cualquier valor de a .
• Estudiamos a continuación la derivabilidad en x = 0 :
Para que la función sea derivable en x = 0 , debe cumplirse que g ' (0-) = g ' (0-)
Por lo tanto, para que la función sea derivable en (-1, 1) se tiene que cumplir que a = 1 .
• g(-1) = g(1) :
g(-1) = 0 = g(1) para cualquier valor de a .
Por lo tanto, la función cumple las hipótesis del teorema de Rolle para a = 1 .