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Problemas resueltos de longitud de arco de una curva

1)     Calcula la longitud de la circunferencia de radio    r .

2)     Hallar la longitud del arco de la curva    9 y2 = 4 x3    comprendido entre los puntos de la curva de abscisa    x = 0    y    x = 3

3)     Hallar la longitud del arco de curva y = ln(cos x) comprendido entre los valores    x = 0    y    x = π/2

4)     Hallar la longitud del arco de curva de la función

comprendido entre los valores    x = - 1    y    x = + 1

5)     Hallar la longitud del arco de curva de la función

24xy - x4 - 48 = 0

comprendido entre los valores    x = 2    y    x = 4

1)     Calcula la longitud de la circunferencia de radio    r .

La ecuación de la curva que describe el cuadrante superior derecho es:

2)     Hallar la longitud del arco de la curva    9 y2 = 4 x3    comprendido entre los puntos de la curva de abscisa    x = 0    y    x = 3

En este caso vemos que es sencillo expresar a     y     como función de     x:

Derivando,

de manera que

3)     Hallar la longitud del arco de curva y = ln(cos x) comprendido entre los valores    x = 0    y    x = π/2

Empezamos calculando    y'    y su cuadrado:

Teniendo esto en cuenta, la longitud de arco que nos piden es:

 

4)     Hallar la longitud del arco de curva de la función

comprendido entre los valores    x = - 1    y    x = + 1

Recordamos que

de manera que    f '(x) = sh(x),    y resulta que

5)     Hallar la longitud del arco de curva de la función

24xy - x4 - 48 = 0

comprendido entre los valores    x = 2    y    x = 4

Despejando la variable    y     podemos obtener la ecuación explícita de la curva que es

de manera que, derivando,

Teniendo esto en cuenta,