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Problemas resueltos de áreas IV: Funciones a trozos y con valor absoluto

1)     Sea f : IR → IR la función definida por

(a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica.
(b) Halla el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y por el eje de abscisas.

2)     Sea    f : IR → IR    la función definida por

(a) Halla el valor de a sabiendo que f es continua

(b) Esboza la gráfica de f.

(c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas     x + 2 = 0     y     x - 2 = 0

3)     Calcúlese el área delimitada por la gráfica de  

y las rectas    x = -1,    x = 1,    y = 0.

4)     Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación     f(x) = | x2 -4 |    y las rectas     x = -1,     x = 4     e     y = 0.

5)     Halla el área de la región limitada por la gráfica de la función  

f(x) = |(x - 1)(3x - 1)|

el eje X,    el eje Y    y la recta    x = 2.

6)     Sea      f:IR→IR    la función definida por      f(x) =x |x - 2|

(a) Esboza la gráfica de  f.
(b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f el eje de abscisas

7)     Sea     f:IR→IR    la función definida por      f(x) =x |x|

(a) Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
(b) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.

8)    
(a) Dibuja el recinto limitado por las curvas    y = |x| - 1     e     y = 1 - |x|
(b) Hallar el área de dicho recinto

9)    
(a) Dibujar el recinto limitado por la curva    y = |x + 1| + |x|    y por la recta        y = 3.
(b) Calcular el área de dicho recinto mediante integración y comprobar el resultado, calculando el área de esa figura elemental.

1)     Sea f : IR → IR la función definida por

(a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica.
(b) Halla el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y por el eje de abscisas.

(a)

Puntos de corte con el eje de abscisas

Para y=0, tenemos que

de manera que los puntes de corte con el eje de abscisas son    ( -2 , 0 )    y    ( 2 , 0 ).

Para x=0, tenemos que

de manera que f es continua en 0.

(b)

A la vista del esbozo que hemos dado en el apartado anterior, podemos calcular el área que se nos pide como sigue:

2)     Sea    f : IR → IR    la función definida por

(a) Halla el valor de a sabiendo que f es continua

(b) Esboza la gráfica de f.

(c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas     x + 2 = 0     y     x - 2 = 0

(a)

Por la continuidad de    f    en    x = -1,    podemos obtener que

y    f    queda definida como

(b)

La primera rama de la función es una función estrictamente creciente para todo   x ≤ -1,   tiene límite   0   cuando    x→-∞    y además    f( -1) = 2.
La segunda rama es una parábola cuyo mínimo es ( 0, 1 ). Además f( -1 ) = 2.
Teniendo en cuenta lo anterior podemos dar el esbozo de la función:

(c)

A la vista del gráfico de la función, vemos que para calcular el área tenemos que integrar entre -2 y -1 la primera rama de la función y entre -1 y 2 la segunda rama:

3)     Calcúlese el área delimitada por la gráfica de  

y las rectas    x = -1,    x = 1,    y = 0.

Esbozo gráfica

A la vista de la gráfica, queda claro que tenemos que integrar entre -1 y 0 la primera rama de la función y entre 0 y 1 la segunda rama.

 

4)     Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación     f(x) = | x2 -4 |    y las rectas     x = -1,     x = 4     e     y = 0.

Puntos de corte con el eje X

Intervalo (- ∞, -2) (-2,2) (2, +∞)
Punto de prueba f(-4) > 0 f(0) < 0 f(4) > 0
| (x + 2)(x - 2) | (x + 1)(x - 1) - (x + 2)(x - 2) (x + 2)(x - 2)

Teniendo esto en cuenta, podemos expresar a    f    como función definida a trozos:

y la gráfica resulta ser la siguiente:

A la vista de la definición de   f   como función definida a trozos y de su gráfica, es fácil calcular el área que se nos pide. Entre -1 y 2 tendremos que integrar la segunda rama y entre 2 y 4 tendremos que integrar la tercera rama:

5)     Halla el área de la región limitada por la gráfica de la función  

f(x) = |(x - 1)(3x - 1)|

el eje X,    el eje Y    y la recta    x = 2.

Puntos de corte con el eje X

 

Intervalo (- ∞, 1) (1/3, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f(0) > 0 f(1/2) < 0 f(3) > 0
| (x - 1)(3x - 1) | (3x - 1)(x - 1) - (3x - 1)(x - 1) (3x - 1)(x - 1)

Teniendo esto en cuenta, podemos expresar a    f    como función definida a trozos como sigue:

Teniendo en cuenta lo anterior, podemos representar gráficamente la función:

A la vista de la definición de   f   como función definida a trozos y de su gráfica, es fácil calcular el área que se nos pide. Entre 0  y  1/3   tendremos que integrar la primera rama entre 1/3   y 1   tendremos que integrar la segunda rama y entre 1 y 2 la tercera:

6)     Sea      f:IR→IR    la función definida por      f(x) =x |x - 2|

(a) Esboza la gráfica de  f.
(b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f el eje de abscisas

(a)

Puntos de corte con el eje X

Intervalo (- ∞, 0) (0, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f(-1) < 0 f(1) < 0 f(3) > 0
x| x - 2 | x(2-x) x(2-x) x(x-2)

Teniendo esto en cuenta, podemos expresar a    f    como función definida a trozos como sigue:

Teniendo en cuenta lo anterior, podemos representar gráficamente la función:

(b)

A la vista de la definición de   f   como función definida a trozos y de su gráfica, es fácil calcular el área que se nos pide. Bastará con integrar la primera rama entre 0 y 2.

7)     Sea     f:IR→IR    la función definida por      f(x) =x |x|

(a) Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
(b) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.

(a)

Puntos de corte con el eje X de la función f

Intervalo (- ∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f(-1) < 0 f(1) > 0
x|x| -x · x x · x

Teniendo esto en cuenta, podemos expresar a    f    como función definida a trozos como sigue:

Intersección de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante     y = x

Obtenemos primero las abscisas en que se intersecan f y la recta y = x:

Teniendo en cuenta todo lo anterior, podemos representar gráficamente el área que nos pedían calcular:

(b)

A la vista de la gráfica el área que se nos pide se calcula como sigue:

8)    
(a) Dibuja el recinto limitado por las curvas    y = |x| - 1     e     y = 1 - |x|
(b) Hallar el área de dicho recinto

(a)

Sabemos que

de manera que es claro que las curvas admiten las siguientes expresiones a trozos:

A la vista de estas expresiones, la gráfica obtenida es la siguiente:

Y el recinto que nos piden dibujar es el que aparece sombreado

(b)

Observamos que ambas curvas son pares. En efecto,

de manera que basta con que integremos entre 0 y 1. Por tanto, el área es

9)    
(a) Dibujar el recinto limitado por la curva    y = |x + 1| + |x|    y por la recta        y = 3.
(b) Calcular el área de dicho recinto mediante integración y comprobar el resultado, calculando el área de esa figura elemental.

(a)

Empezamos viendo que

Teniendo esto en cuenta

Intervalo (- ∞, -1) (-1, 0) (0, +∞)
|x| -x -x x
|x+1| -x-1 x+1 x+1
|x|+|x+1| -2x-1 1 2x+2

por lo cual obtenemos que

Calculamos ahora las intersecciones de la curva con la recta y = 3

De manera que los puntos de intersección son ( -2, 3 )    y    ( 1, 3 )

Teniendo en cuenta todo lo anterior, la gráfica resulta ser la siguiente:

(b)

A la vista de la gráfica y de la expresión de la función, el área se calculará como sigue:

Observando la gráfica, se aprecia fácilmente que el recinto cuya área queremos calcular es un trapecio. Su base menor tiene longitud    b = 1,    su base mayor tiene longitud    B = 4    y su altura es    h=2.    Por tanto: