Aplicación física de la derivada
Supongamos un móvil que se mueve y conocemos el espacio recorrido en función del tiempo s(t) .
La tasa de variación media (TVM) de la función s(t) en un intervalo (t0, t1) indica la velocidad media de dicho móvil entre los instantes t0 y t1 .
• s'(t) es su velocidad en un instante cualquiera t .
• s''(t) es su aceleración en un instante cualquiera t .
Velocidad media
Para encontrar la rapidez o lentitud del movimiento de un móvil entre dos instantes t0 y t1 = t0 + h (h = t1 - t0) se recurre a la velocidad media:
Indica la velocidad media de dicho móvil entre los instantes t0 y t0 + h .
En general, esta velocidad media representa la tasa de variación media (TVM) de la función s(t) en un intervalo cualquiera.
Velocidad instantánea
Para encontrar la velocidad de un móvil en un momento determinado t = t0 hallamos la velocidad instantánea:
En general, v(t) = s'(t) es la velocidad instantánea para cualquier instante:
Aceleración
Para hallar la aceleración de un móvil en un momento determinado t = t0 :
En general, s''(t) = v'(t) es la aceleración para cualquier instante:
Nomenclatura de Leibniz
En física es común usar la siguiente nomenclatura para la derivada:
Y para la segunda derivada:
Cálculo de la velocidad media, velocidad instantánea y aceleración
La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es s(t) = 3t2 - t + 3 , donde t se mide en segundos.
1) Halla la velocidad media en el intervalo [2 , 3] .
2) Halla la velocidad para t = 3 segundos.
3) Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.
1) Halla la velocidad media en el intervalo [2 , 3] .
2) Halla la velocidad para t = 3 segundos.
También podríamos haber hallado la velocidad en t = 3 aplicando las reglas de derivación:
v(t0) = s'(t0) = 3·2t0 - 1 = 6t0 - 1
y sustituyendo en t = 3 :
v(3) = s'(3) = 6·3 - 1 = 17
3) Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.
Para calcular la aceleración tenemos que hallar: a = s''(t)
s'(t) = 6t - 1
s''(t) = 6
La segunda derivada es constante igual a 6 , por lo que podemos afirmar que la aceleración es constante para cualquier intervalo ( a = s''(t) ) .