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Aplicación física de la derivada

Supongamos un móvil que se mueve y conocemos el espacio recorrido en función del tiempo    s(t) .  

La tasa de variación media (TVM) de la función   s(t)   en un intervalo   (t0, t1)   indica la velocidad media de dicho móvil entre los instantes   t0   y   t1 .

•   s'(t) es su velocidad en un instante cualquiera   t .

•   s''(t) es su aceleración en un instante cualquiera   t .

Velocidad media

Para encontrar la rapidez o lentitud del movimiento de un móvil entre dos instantes   t0   y   t1 = t0 + h    (h = t1 - t0)    se recurre a la velocidad media:

          velocidad media

Indica la velocidad media de dicho móvil entre los instantes   t0   y   t0 + h .

En general, esta velocidad media representa la tasa de variación media    (TVM)    de la función   s(t)   en un intervalo cualquiera.

Velocidad instantánea

Para encontrar la velocidad de un móvil en un momento determinado   t = t0   hallamos la velocidad instantánea:

          velocidad instantanea

En general,    v(t) = s'(t)    es la velocidad instantánea para cualquier instante:

          velocidad instantanea general

Aceleración

Para hallar la aceleración de un móvil en un momento determinado   t = t0 :

          aceleracion

En general,    s''(t) = v'(t)    es la aceleración para cualquier instante:

          aceleracion

Nomenclatura de Leibniz

En física es común usar la siguiente nomenclatura para la derivada:

          notación derivada

Y para la segunda derivada:

          notacion segunda derivada

Cálculo de la velocidad media, velocidad instantánea y aceleración

La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es   s(t) = 3t2 - t + 3 ,  donde  t  se mide en segundos.

1)   Halla la velocidad media en el intervalo   [2 , 3] .

2)   Halla la velocidad para   t = 3   segundos.

3)   Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.


1)   Halla la velocidad media en el intervalo  [2 , 3] .

velocidad media


2)   Halla la velocidad para   t = 3   segundos.

velocidad instantanea

velocidad instantanea

velocidad instantanea


También podríamos haber hallado la velocidad en   t = 3   aplicando las reglas de derivación:
                       v(t0) = s'(t0) = 3·2t0 - 1 = 6t0 - 1

y sustituyendo en   t = 3 :
                       v(3) = s'(3) = 6·3 - 1 = 17


3)   Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.

Para calcular la aceleración tenemos que hallar:      a = s''(t)

            s'(t) = 6t - 1

            s''(t) = 6

La segunda derivada es constante igual a   6 ,  por lo que podemos afirmar que la aceleración es constante para cualquier intervalo ( a = s''(t) ) .

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