INICIOEjercicios de interpretación física de la derivada
Velocidad media en el intervalo [t0 , t0+h] :
Velocidad instantánea:
En física es común usar la siguiente nomenclatura para la derivada:
Se conoce como la nomenclatura de Leibniz.
Aceleración:
En física es común usar la siguiente nomenclatura para la segunda derivada:
Se conoce como la nomenclatura de Leibniz.
La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es s(t) = 3t2 - t + 3 , donde t se mide en segundos.
1) Halla la velocidad media en el intervalo [2 , 3] .
2) Halla la velocidad para t = 3 segundos.
3) Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.
1) Halla la velocidad media en el intervalo [2 , 3] .
2) Halla la velocidad para t = 3 segundos.
También podríamos haber hallado la velocidad en t = 3 aplicando las reglas de derivación:
v(t0) = s'(t0) = 3·2t0 - 1 = 6t0 - 1
y sustituyendo en t = 3 :
v(3) = s'(3) = 6·3 - 1 = 17
3) Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.
Para calcular la aceleración tenemos que hallar: a = s''(t)
s'(t) = 6t - 1
s''(t) = 6
La segunda derivada es constante igual a 6 , por lo que podemos afirmar que la aceleración es constante para cualquier intervalo ( a = s''(t) ) .
La trayectoria de un móvil viene dada por la función f(x) = 2 + 5t + 3t2 . Calcular:
a) La velocidad en el instante t = 2 sg.
b) La aceleración en el instante t = 4 sg.
c) ¿Cómo es la aceleración? ¿Cómo es el movimiento?
a) La velocidad en el instante t = 2 sg.
También podríamos haber hallado la velocidad en t = 2 aplicando las reglas de derivación:
v(t0) = f '(t0) = 5 + 6t0
y sustituyendo en t = 3 :
v(2) = f '(2) = 5 + 6·2 = 17
b) La aceleración en el instante t = 4 sg.
Para calcular la aceleración tenemos que hallar: a = f ''(t)
f '(t) = 5 + 6t
f ''(t) = 6
Para cualquier valor de t la aceleración siempre es igual a 6, en particular:
a = f ''(4) = 6
c) ¿Cómo es la aceleración? ¿Cómo es el movimiento?
La aceleración es constante e igual a 6 .
Se trata de un movimiento uniformemente acelerado.
Un móvil se desplaza de forma que su movimiento se rige por la ecuación: s = t3 + 3t2 - 2t - 10
Hallar su posición, velocidad y aceleración iniciales y después de 8 segundos. Dando el espacio en metros y el tiempo en segundos.
Posición, velocidad y aceleración en t = 0 :
s(0) = 03 + 3·02 - 2·0 - 10 = - 10 m
v(t) = s'(t) = 3t2 + 6t - 2 ⇒ v(0) = s'(0) = - 2 m/s
a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t + 6 ⇒ a(0) = 6 m/s2
Posición, velocidad y aceleración en t = 8 :
s(8) = 83 + 3·82 - 2·8 - 10 = 678 m
v(t) = s'(t) = 3t2 + 6t - 2 ⇒ v(8) = s'(8) = 238 m/s
a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t + 6 ⇒ a(8) = s''(8) = 54 m/s2
Un móvil se mueve según la ecuación s = 5 + 3t - t2 . Dando el espacio en metros y el tiempo en segundos. ¿Cuándo y dónde se para?
El móvil se parará cuando su velocidad sea 0 , es decir, cuando:
v(t) = s'(t) = 0
Por tanto:
s'(t) = 3 - 2t = 0 ⇔ 3 = 2t ⇔ t = 3/2 s = 1,5 s
Luego el móvil se parará a los 1,5 segundos.
Veamos qué distancia habrá recorrido:
s(3/2) = 5 + 3(3/2) - (3/2)2 = 5 + 9/2 - 9/4 = 29/4 = 7,25 m
Se parará a los 7,25 metros.
SELECTIVIDAD
Se ha lanzado verticalmente hacia arriba una piedra. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos viene dada por la expresión: e = f(t) = 20t - 2t2
a) Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 5 .
b) ¿En algún momento la velocidad de la piedra ha sido de 15 m/s? Si es así, ¿a qué altura sucedió?
a) Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 5 .
b) ¿En algún momento la velocidad de la piedra ha sido de 15 m/s?
Para hallar la función que determina la velocidad tenemos que derivar f :
v(t) = f '(t) = 20 - 4t
Nos preguntan el momento t en el que la velocidad es igual a 15 m/s , es decir, cuando v(t) = 15 m/s . Por tanto:
v(t) = 20 - 4t = 15 ⇔ - 4t = 15 - 20 ⇔ - 4t = - 5 ⇔ t = 5/4 segundos
¿a qué altura sucedió?
A los 5/4 segundos la altura de la piedra será de:
Se deja caer un objeto desde una altura de 100 metros. Su altura s en el instante t s e representa mediante la función s(t) = 100 - 4,9t2 , donde s se mide en metros y t en segundos.
1) Encontrar su velocidad media en el intervalo [1, 2] .
2) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?
3) ¿Cuál es la velocidad en el momento del impacto?
4) ¿Cuál es aceleración de la caida?
1) Para encontrar la velocidad media aplicamos la fórmula para el intervalo [1, 2] :
La velocidad media resulta negativa al tratarse de un objeto en caida, es decir, el sentido es hacia abajo.
2) Para calcular cuanto tiempo tarda en llegar al suelo, igualamos la función a 0, es decir:
Por lo tanto, el objeto tarda en caer al suelo aproximadamente 4,5 segundos (descartamos la solución negativa puesto que el tiempo tiene que ser un valor positivo).
3) Para calcular cual es la velocidad en el momento del impacto, sustituimos el valor anterior en la fórmula:
Es decir, el objeto llega al suelo con una velocidad de 44,1 metros por segundo.
4) Para calcular la aceleración se deriva la velocidad con respecto al tiempo o, lo que es lo mismo, la segunda derivada del espacio respecto al tiempo:
Por tanto, obtenemos la aceleración de la gravedad (valor constante).