Operaciones con funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real y de dominios Dom(f) y Dom(g), respectivamente.

Suma de funciones

Llamamos suma de f y g, a una operación real que denominamos (f + g) tal que:

(f + g) (x) = f(x) + g(x) , para todo x ∈ [Dom(f) ∩ Dom(g)]

Llamamos función nula o función cero a aquella función que asigna a cualquier elemento del dominio el valor 0 como imagen. La expresamos por 0.

Se verifica que:

(f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x)

Por tanto, la función nula es el elemento neutro para la suma de funciones.

Dada una función f definida en D, llamamos función opuesta de f, y la expresamos por - f, a la función:

funcion_opuesta

La función opuesta verifica que para toda función f se cumple que:

f + (-f) = (-f) + f = 0

La función opuesta es el elemento opuesto para la suma de funciones.

Dadas las funciones f y g , vamos a hallar (f + g):

solucion_ejemplo

Como Dom(f) = R y Dom(g) = R - {1} , tenemos que:

Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R ∩ [R - {1}] = R - {1}

Veamos si es posible efectuar la suma de estas funciones.

Como Dom(f) = [9 , ∞) y Dom(g) = (-∞ , 5] , tenemos que:

Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = [9 , ∞) ∩ (-∞ , 5] = ∅

No hay ningún elemento que pertenezca a la intersección de los dominios de f y g, por lo que no existe f + g.

Llamamos producto de f por g, y lo expresamos por (f · g), a la función:

(f · g)(x) = f(x) · g(x) , para todo x ∈ [Dom(f) ∩Dom(g)]

Llamamos función unidad, y la expresamos por 1, a aquella función que a cada número real le asigna el número real 1.

Se verifica que:

(f · 1)(x) = f(x) · 1(x) = f(x)

La función unidad el elemeno neutro para el producto de funciones.

Dada una función f de dominio D, tal que f(x) ≠ 0 para todo valor x de D, llamamos función recíproca de f, y la expresamos por 1/f, a la función:

funcion_opuesta

La función recíproca es el elemento inverso para el producto de funciones.

Si f es una función que se anula en algún punto de su dominio D, el dominio de 1/f es:

Dom(1/f) = D - { x ∈ D / f(x) = 0 }

Dadas las funciones f y g , vamos a hallar (f · g):

solucion_ejemplo

Como Dom(f) = [3 , ∞) y Dom(g) = R - {-2} , tenemos que:

Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = [3 , ∞) ∩ R - {-2} = [3 , ∞)

Vamos a hallar la función recíproca de f, donde f es:

funcion

Hacemos (1/f)(x):

solucion_reciproca

Vemos que: Dom(f) = R

Y además f(x) = 0 sólamente si x = 0. Luego: {x ∈ R / f(x) = 0} = {0}

Por tanto el dominio de la función recíproca de f es:

dominio_ejemplo