Resolución de sistemas de ecuaciones mediante la matriz inversa

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones

En general un sistema de ecuaciones lineales con    m    ecuaciones y    n    incógnitas tiene la forma:

 

 

Y admite una expresión matricial de la forma

A · X = B

donde las matrices A, X y B son las siguientes,

de manera que

Ejemplo de expresión matricial de un sistema de ecuaciones

Expresar en forma matricial el siguiente sistema

La expresión matricial del siguiente sistema es la siguiente:

Resolución de sistemas de ecuaciones mediante la matriz inversa

Si queremos resolver un sistema con    n    ecuaciones y    n    incógnitas   puede existir la posibilidad de hacerlo utilizando su expresión matricial. Veamos como:

1. Expresamos matricialmente el sistema de ecuaciones, de la forma
   A·X = B
   
   
2. Si |A| ≠ 0 entonces A es inversible. Si multiplicamos por A^-1 en la identidad anterior por la izquierda, obtenemos que
   A^-1 ( A · X ) = A^-1 · B
   
   Empleando la propiedad asociativa del producto matricial, obtenemos que
   (A^-1 · A ) X = A^-1 · B
   
   Teniendo en cuenta que A^-1 · A = I, acabamos de obtener que:
   X = A^-1 · B
   
   Es decir, acabamos de calcular el valor de la matriz de incógnitas X, de manera que hemos resuelto el sistema de ecuaciones.

Ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones mediante la matriz inversa

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones empleando la matriz inversa de su matriz de coeficientes:

La expresión matricial del siguiente sistema es la siguiente:

Empezamos observando que que |A| = - 18 ≠ 0, de manera que A es inversible.

Calculamos A^-1:

Calculamos X = A^-1 · B :