Discusión de las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos

Ejemplos de discusión de las soluciones de sistemas homogéneos

1.   Discutir y resolver el siguiente sistema homogéneo:

Observamos que en este caso n = 3 ya que hay tres incógnitas. Empezamos escribiendo la matriz de coeficientes del sistema:

Estudiamos su rango:

Como rg(A) = n = 3, tenemos que el sistema es compatible determinado y tiene como única solución la solución trivial:

x = 0     y = 0       z = 0

2.   Discutir y resolver el siguiente sistema homogéneo:

Observamos que en este caso n = 3 ya que hay tres incógnitas. Empezamos escribiendo la matriz de coeficientes del sistema:

Estudiamos su rango:

Como rg(A) = 2 < n = 3, tenemos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones además de la solución trivial.

El menor de orden 2 no nulo que hemos obtenido nos dice que las dos primeras filas son linealmente independientes. Como el rango de la matriz es 2, la tercera fila puede entonces obtenerse como combinación lineal de estas, de manera que podemos obviarla a la hora de calcular la solución del sistema.

Vamos a resolver en función de un parámetro λ utilizando la regla de Cramer. Si llamamos z = λ, el sistema anterior se expresa como

Por la regla de Cramer:

Ejemplo de discusión de las soluciones de un sistema homogéneo con un parámetro

1.   Discutir y resolver el siguiente sistema homogéneo:

En este caso n = 3. Empezamos expresando matricialmente el sistema:

Observamos que

Vamos a calcular las soluciones en el caso en que a = 8. Observamos que la primera y la última fila aportan un menor de orden 2 no nulo:

Esto nos dice que dichas filas son linealmente independientes. Como el rango de la matriz es 2, la segunda fila puede entonces obtenerse como combinación lineal de estas, de manera que podemos obviarla a la hora de calcular la solución del sistema. Así