INICIOEjercicios resueltos de discusión de sistemas de ecuaciones
por Rouché y resueltos por la regla de Cramer
1) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
2) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
3) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
4) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
5) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
6) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
7) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
8) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
9) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
10) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
11) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
12) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
13) Dado el sistema de ecuaciones:
Demostrar que es compatible determinado para cualquier valor de A, B y C y encontrar la solución en función de dichos valores.
14) Cuadro resumen de Rouché
1) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas
- Para discutir el sistema se calcula primero |A|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema compatible determinado.
- Si |A| = 0 hay que estudiar el rango de A'.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 2. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 2 ya que A es una matriz cuadrada de orden 2 y A' es una matriz 2 ×3.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Vemos que |A| = 5 ≠ 0 de manera que rg(A) = 2 y como |A| es un menor de orden 2 de la matriz A', también rg(A ') = 2.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto rg(A) = rg(A') = 2 y el sistema es compatible determinado.
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
La matriz de coeficientes A y la matriz de términos independientes B son las siguientes:
|A| = 5 ≠ 0 de manera que podemos aplicar la regla de Cramer:
Solución:
x = 3/5 y = 2/5
2) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas + 1
- Es un sistema que tiene una ecuación más que incógnitas.
- Para discutir el sistema se calcula primero |A'|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema incompatible.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 2. Observamos que tanto el rango de A puede ser a lo sumo 2 ya que A es una
matriz es una matriz 3 × 2, mientras que el rango de A' puede ser a lo sumo 3, ya que A' es una matriz
de orden 3.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Empezamos estudiando el rango de A'.
Vemos que
de manera que rg(A') = 3.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto, como rg(A) ≤ 2 y rg(A') = 3, rg(A) ≠ rg(A') y el sistema es incompatible.
3) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas
- Para discutir el sistema se calcula primero |A|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema compatible determinado.
- Si |A| = 0 hay que estudiar el rango de A'.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Vemos que |A| = 4 ≠ 0 de manera que rg(A) = 3 y como |A| es un menor de orden 3 de la matriz A',
también rg(A ') = 3.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto rg(A) = rg(A') = 3 y el sistema es compatible determinado.
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
La matriz de coeficientes A y la matriz de términos independientes B son las siguientes:
|A| = 4 ≠ 0 de manera que podemos aplicar la regla de Cramer:
Solución:
x = 3/4 y = -1/2 z = 9/4
4) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas
- Para discutir el sistema se calcula primero |A|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema compatible determinado.
- Si |A| = 0 hay que estudiar el rango de A'.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Empezamos estudiando el rango de A.
Vemos que
de manera que rg(A) < 3. Observamos que
es decir, A tiene un menor de orden 2 no nulo, de manera que rg(A) = 2.
Dicho menor es también un menor de orden 2 de A', por lo cual rg(A') ≥ 2. El menor puede orlarse de
dos formas:
Añadiendo la última fila y la tercera columna, lo cual da lugar a |A|, que hemos visto que se anula.
Añadiendo la última fila y la última columna de A':
Como los menores orlados son ambos nulos rg(A') = 2.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto rg(A) = rg(A') = 2 < 3 y el sistema es compatible indeterminado.
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
Observamos que |A| = 0 , es decir, no podemos aplicar la regla de Cramer. Por lo tanto, buscamos algún menor de orden 2 distinto de cero:
Por otra parte, todos los menores de orden 3 de la matriz ampliada son cero:
Es decir, el sistema es compatible de rango 2, por lo que una de las incógnitas tiene que pasar al segundo miembro:
Las matrices relacionadas con este sistema de ecuaciones son las siguientes:
Observamos que |B| = - 3 ≠ 0 de manera que podemos aplicar la regla de Cramer:
Solución:
5) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas
- Para discutir el sistema se calcula primero |A|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema compatible determinado.
- Si |A| = 0 hay que estudiar el rango de A'.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Empezamos estudiando el rango de A.
Vemos que
de manera que rg(A) < 3. Observamos que
es decir, A tiene un menor de orden 2 no nulo, de manera que rg(A) = 2.
Dicho menor es también un menor de orden 2 de A', por lo cual rg(A') ≥ 2. El menor puede orlarse de
dos formas:
Añadiendo la primera fila y la tercera columna, lo cual da lugar a |A|, que hemos visto que se anula.
Añadiendo la primera fila y la última columna de A':
Como este menor es no nulo, tenemos que rg(A') = 3.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto, como rg(A)=2 y rg(A')=3, rg(A) ≠ rg(A') y el sistema es incompatible.
6) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Nº de ecuaciones < Nº de incógnitas
- No puede ser compatible determinado.
- Puede ser incompatible (basta que haya dos ecuaciones contradictorias).
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 2 ya que A es una matriz 2 × 3 y A' es una matriz 2 × 4.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Estudiamos los rangos de A y de A'.
Vemos que
de manera que rg(A) = 2. Dicho menor es también un menor de A'. Por tanto rg(A') = 2
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto rg(A) = rg(A') = 2 < 3 y el sistema es compatible indeterminado.
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
Es decir, el sistema es compatible de rango 2, por lo que una de las incógnitas tiene que pasar al segundo miembro:
Las matrices relacionadas con este sistema de ecuaciones son las siguientes:
Observamos que |B| = - 5 ≠ 0 de manera que podemos aplicar la regla de Cramer:
Solución:
7) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas + 1
- Es un sistema que tiene una ecuación más que incógnitas.
- Para discutir el sistema se calcula primero |A'|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema incompatible.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 4. Observamos que el rango de A puede ser como mucho 3, ya que es una matriz cuadrada de orden 4 y A' es una matriz 4 × 4 luego su rango puede ser 4..
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Vemos que |A'| = 0 de manera que rg(A') < 4 por lo que buscamos un menor de orden 3 cuyo determinante sea disitnto de 0.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto rg(A) = rg(A') = 3 y el sistema es compatible determinado.
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
La matriz de coeficientes A y la matriz de términos independientes B son las siguientes, puesto que podemos eliminar la última ecuación al ser combinación lineal de las tres primeras:
|A| = 3 ≠ 0 de manera que podemos aplicar la regla de Cramer:
Solución:
x = - 3 y = 6 z = 7
8) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas
- Para discutir el sistema se calcula primero |A|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema compatible determinado.
- Si |A| = 0 hay que estudiar el rango de A'.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Vemos que |A| = 0 ≠ 0 de manera que rg(A) < 3
Por otra parte tenemos que:
Por tanto rg(A) = 2 < rg(A') = 3 y el sistema es compatible indeterminado.
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
Observamos que |A| = 0 , es decir, no podemos aplicar la regla de Cramer. Por lo tanto, buscamos algún menor de orden 2 distinto de cero:
Es decir, el sistema es compatible de rango 2, por lo que una de las incógnitas tiene que pasar al segundo miembro:
Solución:
9) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas
- Para discutir el sistema se calcula primero |A|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema compatible determinado.
- Si |A| = 0 hay que estudiar el rango de A'.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Vemos que |A| = 6 ≠ 0 de manera que rg(A) = 3 y como |A| es un menor de orden 3 de la matriz A',
también rg(A ') = 3.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto rg(A) = rg(A') = 3 y el sistema es compatible determinado.
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
La matriz de coeficientes A y la matriz de términos independientes B son las siguientes:
|A| = 6 ≠ 0 de manera que podemos aplicar la regla de Cramer:
Solución:
x = 1 y = 1 z = - 1
10) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Nº de ecuaciones < Nº de incógnitas
- No puede ser compatible determinado.
- Puede ser incompatible (basta que haya dos ecuaciones contradictorias).
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 4. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz 3 × 4 y A' es una matriz 3 × 5.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Empezamos estudiando el rango de A.
Vemos que
de manera que rg(A) = 3. Como dicho menor también es un menor de A' entonces rg(A') = 3.
Por tanto rg(A) = rg(A') = 3 < 4 y el sistema es compatible indeterminado.
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
Es decir, el sistema es compatible de rango 3, por lo que una de las incógnitas tiene que pasar al segundo miembro:
Las matrices relacionadas con este sistema de ecuaciones son las siguientes:
Observamos que |B| = 28 ≠ 0 de manera que podemos aplicar la regla de Cramer:
Solución:
11) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Realizamos los siguientes cambios de variable:
Por lo tanto nuestro sistema queda de la siguiente manera:
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas
- Para discutir el sistema se calcula primero |A|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema compatible determinado.
- Si |A| = 0 hay que estudiar el rango de A'.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 2. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 2 ya que A es una matriz cuadrada de orden 2 y A' es una matriz 2 ×3.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Vemos que |A| = 8 ≠ 0 de manera que rg(A) = 2 y como |A| es un menor de orden 2 de la matriz A', también rg(A ') = 2.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto rg(A) = rg(A') = 2 y el sistema es compatible determinado.
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
La matriz de coeficientes A y la matriz de términos independientes B son las siguientes:
|A| = 8 ≠ 0 de manera que podemos aplicar la regla de Cramer:
A continuación deshacemos el cambio de variable:
Solución:
x = 3 y = 2
12) Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema:
Realizamos los siguientes cambios de variable:
Por lo tanto nuestro sistema queda de la siguiente manera:
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas
- Para discutir el sistema se calcula primero |A|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema compatible determinado.
- Si |A| = 0 hay que estudiar el rango de A'.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Vemos que |A| = - 120 ≠ 0 de manera que rg(A) = 3 y como |A| es un menor de orden 3 de la matriz A', también rg(A ') = 3.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto rg(A) = rg(A') = 3 y el sistema es compatible determinado.
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
La matriz de coeficientes A y la matriz de términos independientes B son las siguientes:
|A| = - 120 ≠ 0 de manera que podemos aplicar la regla de Cramer:
Deshacemos el cambio de variable:
Solución:
x = 12 y = 10 z = 3
13) Dado el sistema de ecuaciones:
Demostrar que es compatible determinado para cualquier valor de A, B y C y encontrar la solución en función de dichos valores.
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas
- Para discutir el sistema se calcula primero |A|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema compatible determinado.
- Si |A| = 0 hay que estudiar el rango de A'.
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Vemos que |A| = 2 ≠ 0 de manera que rg(A) = 3 y como |A| es un menor de orden 3 de la matriz A', también rg(A ') = 3.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto rg(A) = rg(A') = 3 y el sistema es compatible determinado para cualquier valor de A, B y C..
A continuación resolvemos el sistema mediante la regla de Cramer:
La matriz de coeficientes A y la matriz de términos independientes B son las siguientes:
|A| = 2 ≠ 0 de manera que podemos aplicar la regla de Cramer:
Solución:
Nº de ecuaciones < Nº de incógnitas
- No puede ser compatible determinado.
- Puede ser incompatible (basta que haya dos ecuaciones contradictorias).
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas + 1
- Es un sistema que tiene una ecuación más que incógnitas.
- Para discutir el sistema se calcula primero |A'|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema incompatible.
Nº de ecuaciones = Nº de incógnitas
- Para discutir el sistema se calcula primero |A|.
- Si |A'| ≠ 0 sistema compatible determinado.
- Si |A| = 0 hay que estudiar el rango de A'.