Matriz cuadrada: Matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir, m = n.

Se denomina diagonal principal de la matriz cuadrada A = ( a_ij ) a los elementos a_ii, es decir:
a₁₁, a₂₂, a₃₃,..., a_nn.

Se denomina diagonal secundaria de la matriz cuadrada A = ( a_ij ) a los elementos a_ij con i + j = n + 1.

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada cuyos elementos son simétricos respecto de la diagonal principal, es decir, una matriz A es simétrica cuando A = A^t o, lo que es lo mismo, a_ij = a_ji .

Por tanto, una matriz es simétrica si coincide su traspuesta.

Una matriz antsimétrica es una matriz cuadrada cuyos elementos respecto de la diagonal principal son iguales en valor absoluto pero de distinto signo, es decir, una matriz A es antisimétrica cuando A = - A^t o, lo que es lo mismo, a_ij = - a_ji .

Por tanto, una matriz es antisimétrica si coincide con la opuesta de su traspuesta.

Una matriz cuadrada A es una matriz ortogonal si verifica que

A · A^t = A^t · A = I

Es un tipo especial de matriz inversible.

Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos (matriz A).

Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos (matriz B).

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos, es decir, para A = ( a_ij )

Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz unitaria, unidad o identidad: Es una matriz escalar en la que todos los elementos diagonales son iguales a 1.

Para cada n representaremos a la matriz identidad de orden n como I_n.

Una matriz cuadrada A es una matriz periódica si verifica que

Aⁿ⁺¹ = A

para algún entero positivo n. Al menor entero positivo para el que esto ocurre se le llama periodo.

Una matriz cuadrada A es una matriz idempotente si verifica que

A² = A

Se dice que una matriz cuadrada A es una matriz nilpotente si verifica que

Aⁿ = O

para algún k entero positivo.

Se dice que una matriz cuadrada A es una matriz involutiva si verifica que

A² = I