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Propiedades de los determinantes

Propiedad Ejemplo

El determinante de una matriz y de su traspuesta es el mismo.
| A | = | At|

Como consecuencia , toda propiedad que sea válida para filas lo será también para columnas y viceversa. Entonces llamaremos en general líneas a las filas o a las columnas.

El determinante del producto de dos matrices cuadradas A y B es igual al producto de los determinantes de A y de B

Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden.

| A · B | = | A | · | B |
Si multiplicamos a una línea por un número k, el determinante queda multiplicado por dicho número:

     k · |A|
Si A es una matriz de orden n y k es un número real:


|k · A | = kn|A|
Si se intercambian dos líneas de un determinate entonces cambia su signo.
Si en un determinante los elementos de una linea son sumas de dos sumandos, se puede descomponer en suma de dos determinantes.
Si una matriz tiene una línea nula su determinante vale cero.
Si una matriz tiene dos líneas proporcionales o iguales entonces su determinante vale cero.
Si una línea puede expresarse como combinación lineal de otras líneas su determinante vale cero.

Si a una línea se suma una combinación lineal de otras líneas paralelas su determinante no varía

Es decir que se le suma otra línea multiplicada por un número real, su determinante no varía

Determinantes de algunas matrices especiales  
Si A es una matriz diagonal, su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal.
Si A es una matriz triangular inferior su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal.
Si A es una matriz triangular superior su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal.
No cumple  
El determinante de la suma de dos matrices cuadradas A y B no siempre es igual a la suma de los determinantes de A y de B

|A+B| ≠ |A| + |B|

izquierda
         arriba
derecha