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Ejercicios resueltos sobre propiedades
de ecuaciones de segundo grado

Propiedades de ecuaciones de segundo grado:


1)   Calcula   m   para que   x2 + mx + 25 = 0   tenga una solución.





2)   Calcula   n   para que   x2 - 4x + n = 0   no tenga soluciones.



ec_2grado_prop




3)   Calcula   m   para que   mx2 + 8x + 5 = 0   tenga dos soluciones.



ec_2grado_prop




4)   En las siguientes ecuaciones hallar la suma y producto de las raíces:


ax2 + bx + c = 0


prop_suma


prop_producto


prop_suma_prod



a) x2 + 10x + 9 = 0




b) x2 - 8x + 7 = 0


prop_suma_prod




5)   Forma las ecuaciones de segundo grado que tengan por raíces:


a)   x1 = 3   y   x2 = 4


S = 3 + 4 = 7


P = 3 · 4 = 12


Por lo tanto la ecuación es:


x2 - 7x + 12 = 0



También podemos encontrar la ecuación de segundo grado factorizando:


(x - 3) (x - 4) = x2 - 7x + 12 = 0




b)   x1 = - 1   y   x2 = 5


S = - 1 + 5 = 4


P = (- 1) · 5 = - 5


Por lo tanto la ecuación es:


x2 - 4x - 5 = 0



También podemos encontrar la ecuación de segundo grado factorizando:


(x + 1) (x - 5) = x2 - 4x - 5 = 0




c)   x1 = - 20   y   x2 = - 2


S = - 20 - 2 = - 22


P = (- 20) · (- 2) = 40


Por lo tanto la ecuación es:


x2 + 22x + 40 = 0



También podemos encontrar la ecuación de segundo grado factorizando:


(x + 20) (x + 2) = x2 + 22x + 40 = 0




d)   x1 = 5   y   x2 = 1/5



Por lo tanto la ecuación es:



También podemos encontrar la ecuación de segundo grado factorizando:


Propiedades de ecuaciones de segundo grado:


1)   Hallar dos números que tengan:


a)   Por suma   - 3   y por producto   - 28.


Los números buscados son las ráices de la ecuación:


x2 + 3x - 28 = 0



raices




b)   Por suma   - 8   y por producto   12.


Los números buscados son las ráices de la ecuación:


x2 + 8x + 12 = 0



raices




2)   En la ecuación   x2 + Kx - 28 = 0 ,   hallar el valor


de   K   sabiendo que una de las raíces es   - 7.


K = x1 + x2   y   - 28 = x1·x2


Por lo tanto:   - 28 = (- 7)·x2


De aquí obtenemos que,   x2 = 4


Y por lo tanto,   K = - 7 + 4 = -3


Luego la solución es:   K = - 3




3)   En la ecuación   K(x2 - 5x + 1) - 6(x+2) + 4(K - x) - 65 = 0 ,


hallar el valor de   K   sabiendo que una de sus raíces es   x = - 2.


Como   x = 2   es una raíz, satisface la ecuación anterior.


K·[(- 2)2 - 5·(- 2) + 1] - 6·[(- 2) + 2] + 4·[K - (- 2)] - 65 = 0


15K + 4(K + 2) - 65 = 0


15K + 4K + 8 - 65 = 0


19K = 57


Por lo tanto,   K = 3

Propiedades de ecuaciones de segundo grado:


1)   Hallar   m   para que las raíces de   x2 - 6mx + 9m2 = 0   sean iguales.


Para que las raíces sean iguales el discriminante de la ecuación debe ser igual a 0.


prop_2grado



Por lo tanto cualquier valor real de   m   lo cumple.



2)   Hallar   m   para que las raíces de   x2 - (m + 1)x + 2m + 3 = 0   difieran en 4 unidades.


S = x1 + x2 = x1 + (x1 + 4)


2·x1 + 4 = m + 1


P = x1 · x2 = x1·(x1 + 4)


x12 + 4x1 = 2m + 3



Por lo tanto tenemos el siguiente sistema:




De la primera ecuación obtenemos que:



Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos:




m.c.m. (1, 4) = 4


Dividiendo el m.c.m. entre el denominador y multiplicando


por el numerador en cada término llegamos a:



(m - 3)2 + 8(m - 3) = 4(2m + 3)


m2 - 6m + 9 + 8m - 24 = 8m + 12


m2 - 6m - 27 = 0



A continuación resolvemos la ecuación de segundo grado:



ecuacion_2grado




También podemos encontrar la solución factorizando:



(x - x1) [x - (x1 + 4)] = x2 - (m + 1)x + 2m + 3


(x - x1) (x - x1 - 4) = x2 - (m + 1)x + 2m + 3


x2 - x·x1 - 4x - x·x1 + x12 + 4·x1 = x2 - (m + 1)x + 2m + 3


x2 - (2x1 + 4)x + (x12 + 4·x1) = x2 - (m + 1)x + 2m + 3



Igualando los coeficientes de cada término de la ecuación de segundo grado obtenemos:





Es decir, el mismo sistema de ecuaciones que con el método anterior.




3)   Calcula   m   para que la ecuación   x2 - 8mx + m + 1 = 0   tenga una raíz el triple de la otra.


Si una raíz es el triple de la otra, entonces:   x1 = x   y   x2 = 3x


S = x + 3x = 8m


P = x · 3x = m + 1


Por lo tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:



De la primera ecuación obtenemos que:


x = 2m


Si sustituimos el valor de   x   en la segunda ecuación resulta:


3 · (2m)2 = m + 1


12m2 - m - 1 = 0


A continuación resolvemos la ecuación de segundo grado para resolver el problema.



ecuacion_2grado