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Ejercicios resueltos de ecuaciones

Determina si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones:


1)  15x = 7(2 + 9x) - 30


            Es una ecuación, puesto que es una igualdad que se cumple sólo para:     x = 1/3



2)  (x - 3)2 - 5 = x2 - 6x + 4


            Es una identidad, ya que la igualdad se cumple para cualquier valor de la incógnita.



3)  9(13 - x) - 4x = 5(21 - 2x) + 9x


            Es una ecuación, puesto que es una igualdad que se cumple sólo para:     x = 1



4)  (x + 5)(x - 5) + 3 = x2 - 22


            Es una identidad, ya que la igualdad se cumple para cualquier valor de la incógnita.



5)  2x + 3 = 5(x - 1) - 3x + 8


            Es una identidad, ya que la igualdad se cumple para cualquier valor de la incógnita.

Indica los elementos de las siguientes ecuaciones:


1)  x + 15 = 2x - 2


2)  5x2 - 3x = 42


3)  5(13x - 2) = 8(5 - 3x)


4)  x4 + 5x2 - 45 = 0


Ecuación Primer miembro Segundo miembro Términos Incógnita Grado
x + 15 = 2x - 2 x + 15 2x - 2 x  ;  + 15  ;  2x ;  - 2 x 1
5x2 - 3x = 42 5x2 - 3x 42 5x2  ;  - 3x  ;  42 x 2
5(13x - 2) = 8(5 - 3x) 5(13x - 2) 8(5 - 3x) 5(13x - 2)  ;  8(5 - 3x) x 1
x4 + 5x2 - 45 = 0 x4 + 5x2 - 45 0 x4  ;  + 5x2  ;  - 45 x 4

¿Cuáles de los siguientes valores son solución de la ecuación?


Ecuacion


a)  x = 1       b ) x = 3       c)  x = - 2       d)  c = 0



a)   Para x = 1, sustituimos en la ecuación para ver si la cumple:


      comprobacion_ecuacion


      comprobacion_ecuacion


      comprobacion_ecuacion


      


Por tanto, x = 1 no es solución de la ecuación.



b)   Para x = 3, sustituimos en la ecuación para ver si la cumple:


      comprobacion_ecuacion


      comprobacion_ecuacion


      comprobacion_ecuacion


Por tanto, x = 3 no es solución de la ecuación.



c)   Para x = - 2, sustituimos en la ecuación para ver si la cumple:


      comprobacion_ecuacion


      comprobacion_ecuacion


      comprobacion_ecuacion


Por tanto, x = - 2 no es solución de la ecuación.



d)   Para x = 0, sustituimos en la ecuación para ver si la cumple:


      comprobacion_ecuacion


      comprobacion_ecuacion


      comprobacion_ecuacion


Por tanto, x = 0 sí es solución de la ecuación.

Escribe una ecuación cuya solución sea:


a)  x = 0       b)  x = 2       c)  x = 1/7       d)  x = -1/3       e)  x = 1,5       f)  Sin solución



a)  x = 0


      3x = 0


      x2 - x = 0



b)  x = 2


      x = 2    ⇒    4·x = 4·2    ⇒    4x = 8    ⇒    4x - 8 = 0



c)  x = 1/7


      x = 1/7    ⇒    7·x = 7·1/7    ⇒    7x = 1    ⇒    7x - 1 = 0



d)  x = -1/3


      x = - 1/3    ⇒    6·x = - 6·1/3    ⇒    6x = - 2    ⇒    6x + 2 = 0



e)  x = 1,5


      x = 1,5    ⇒    x = 1 + 0,5 = 1 + 1/2 = 3/2    ⇒    2·x = 2·3/2    ⇒    2x = 3    ⇒    2x - 3 = 0



f)  Sin solución


      x + 3 = x - 5    ⇒    3 ≠ - 5


      x2 - 3x + 2 = x2 - 3x + 5    ⇒    2 ≠ 5

Comprueba si las siguientes ecuaciones son equivalentes, es decir, si tienen la misma solución.



a)  5x - 1 = 9    y    5x - 10 = 0


      5x - 1 = 9    ⇔    5x = 10    ⇔    x = 2


      5x - 10 = 0    ⇔    5x = 10    ⇔    x = 2


      Son ecuaciones equivalentes, ya que tienen la misma solución:    x = 2



b)  x2 - 25 = 0    y    (x - 5)2 = 0


      x2 - 25 = 0    ⇔    x2 = 25    ⇔    x = ± √ 25    ⇔    x = ± 5


      (x - 5)2 = 0    ⇔    (x - 5)(x - 5) = 0    ⇔    x - 5 = 0    ⇔    x = 5  (raíz doble)


      No son ecuaciones equivalentes, puesto que tienen una solución en común, x = 5, y otra que no, x = - 5.