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Ejercicios resueltos de integrales trigonométricas inmediatas I

Haga click en la correspondiente pestaña para ver la solución del ejercicio


ejercicio integral arcotangente


ejercicios integrales inmediatas


ejercicios integrales arcotangente


ejercicios integrales para arcotangente


ejercicios integrales arcotangente


ejercicios integrales arcotangente


ejercicios integrales para arcoseno



ejercicios integrales trigonometricas resueltas

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integral seno por coseno resuelta


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Ejercicios resueltos de integrales trigonométricas inmediatas II

Nota de clase

ejercicio integral arcotangente


Observamos que la integral es muy parecida a la integral inmediata para el arcotangente.
Ver tabla de integrales inmediatas.


integral imediata arcotangente


Observamos que la derivada de la función   u=x2   es    u'=2x  , buscaremos tener dicha derivada dentro de la integral para aplicar directamente la regla para el arcotangente.


integral inmediata arcotangente

integral inmediata arcotangente

ejercicios integrales inmediatas

Observamos que la integral es muy parecida a la integral inmediata para el arcotangente.

Observamos que la derivada de la función   u=ex   es    u'=ex  , como tenemos la derivada dentro de la integral podemos aplicar directamente la regla para el arcotangente.


integrales inmediatas arcotangente

ejercicios integrales arcotangente


Operando un poco sobre la función observamos que la integral es muy parecida a la integral inmediata para el arcotangente.


integrales arcotangente resueltas


La derivada de la función   u=3x   es    u'=3  , buscaremos tener dicha derivada dentro de la integral para aplicar directamente la regla para el arcotangente. Para ello multiplicamos por:
unidad


integral para arcotangente

ejercicios integrales para arcotangente


Operando un poco sobre la función observamos que la integral es muy parecida a la integral inmediata para el arcotangente.


integral para arcotangente resuelta


La derivada de la función   u=2x/3   es    u'=2/3  , buscaremos tener dicha derivada dentro de la integral para aplicar directamente la regla para el arcotangente. Para ello multiplicamos por:
unidad


integral para arcotangente resuelta

ejercicios integrales arcotangente


La integral es muy parecida a la integral inmediata para el arcotangente.

La derivada de la función   u = sen 5x   es   u' = 5 cos 5x .   Buscaremos tener dicha derivada dentro de la integral para aplicar la regla del arcotangente.


ejercicio integral regla arcotangente

ejercicios integrales arcotangente


La integral es muy parecida a la integral inmediata para el arcotangente.
Se observa que   2 = (√2)2   , por lo que sustituimos en la integral.


integrales para arcotangente solucion


La derivada de la función   u = √2x   es   u' = √2  . Multiplicamos por:
truco integral arcotangente


solución integral arcotangente

ejercicios integrales para arcoseno


La integral es muy parecida a la integral inmediata para el arcoseno.
Se observa que   x6 = (x3)2   , por lo que sustituimos en la integral.


integral para arcoseno

La derivada de la función  u = x3   es   u' = 3x2  ,   así que multiplicamos por:
unidad


solución integral para arcoseno


A)     De más fácil a más complicada por tres métodos:



B)

La derivada de   u = 3x/2   es   u' = 3/2  . Multiplicamos por:
trucos integrales


ejercicios integrales trigonometricas resueltas


La derivada de   u = sen x + cos x   es   u' = cos x - sen x .  Buscaremos tener dicha derivada dentro de la integral para poder aplicar directamente la regla para el logaritmo.
Para ello multiplicamos por:
trucos calculo integrales


integrales trigonometricas resueltas


integrales trigonometricas resueltas

ejercicios integrales trigonometricas resueltas


Aplicamos la fórmula de reducción de potencias para el coseno:
formula coseno cuadrado
Ver página de fórmulas trigonométricas.



solucion integral coseno cuadrado


solucion integral coseno cuadrado

integral seno por coseno resuelta


La derivada de la función   u = sen 3x   es   u' = 3 cos 3x  .  Buscaremos tener dicha derivada dentro de la integral para poder aplicar la regla de la potencia. Para ello multiplicamos por:
trucos para integrales


integral seno por coseno resuelta

ejercicios integrales trigonometricas resueltas


Podemos resolverla como una integral inmediata aplicando la fórmula para   1 + cotg2x .  Tan sólo nos falta un   +1   dentro de la integral.
Ver tabla de integrales inmediatas.

Restamos y sumamos la unidad dentro de la integral:      - 1 + 1 = 0


solucion integral cotangente cuadrado

ejercicios integrales trigonometricas resueltas


Podemos resolverla como una integral inmediata aplicando la fórmula para   1 + tg2x .  Tan sólo nos falta un   +1   dentro de la integral.
Ver tabla de integrales inmediatas.

Descomponemos el   3   en dos sumandos:     3 = 2 + 1


solucion integral tangente cuadrado

ejercicios integrales trigonometricas


Descomponemos la integral:

integral trigonometrica resuelta


La única integral que no es inmediata es la tercera, así que vamos a calcularla por separado
Para ello vamos a aplicar la fórmula trigonométrica para la reducción de potencias:
fórmula seno cuadrado
Ver página de fórmulas trigonométricas.


integral seno cuadrado


integral seno cuadrado


Terminamos de calcular nuestra integral:

integral trigonometrica resuelta

ejercicios integrales trigonometricas


Descomponemos la integral realizando el cuadrado del binomio:

integrales seno coseno


Aplicamos la fórmula fundamental de la trigonometría    sen2 + cos2 =1 ,   y la fórmula del ángulo doble sen 2x = 2 sen x cos x .
Ver página de fórmulas trigonométricas.


integrales seno coseno

integral seno coseno resuelta

ejercicios integrales trigonometricas


Escribimos la raíz en forma de potencia, aplicamos la fórmula de la secante.
formula secante
Ver página de relaciones trigonométricas.


integrales trigonometricas resueltas


Observamos que:      u = 7 + 2 tg x      →      u' = 2 sec2x

Buscaremos tener dicha derivada dentro de la integral para aplicar directamente la regla de la potencia. Para ello multiplicamos por:
trucos integrales


integrales trigonometricas resueltas


integrales trigonometricas resueltas

ejercicios integrales trigonometricas


Multiplicamos por el conjugado del denominador   (1 + cos x)   y operamos:


integral cociente trigonometricas


Aplicamos la fórmula fundamental de la trigonometría    sen2x + cos2x = 1   y descomponemos:
Ver página de fórmulas trigonométricas.


solucion integral trigonometrica

solucion integral trigonometrica cociente


En la primera integral observamos que la derivada de   u = sen x   es   u' = cos x ,   por lo que podemos aplicar directamente la regla de la potencia. Las otras dos integrales son inmediatas.
Ver tabla de integrales inmediatas.


integrales trigonometricas resueltas