INICIOEjercicios resueltos de asíntotas II
Calcula las asíntotas de las siguiente función:
• Asíntota vertical:
Las asíntotas verticales corresponden a los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. El denominador se puede descomponer de la siguiente manera:
x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) ⇒ Las raíces son x = -1 y x = -2
Como ninguno de esos valores anula al numerador, ambas son asíntotas verticales.
• Asíntota horizontal:
Para calcular las asintotas horizontales calculamos el límite de la función en el infinito.
Por lo tanto, la función no tiene asíntotas horizontales.
• Asíntota oblicua:
Realizamos la división de los polinomios:
Por lo tanto tenemos que:
Además se cumple lo siguiente:
Luego la recta y = 3x - 7 es asíntota oblicua de la función.
Calcula las asíntotas de las siguiente función:
• Asíntota vertical:
Las asíntotas verticales corresponden a los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. Las raíces del denominador son:
x2 - 4 = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ |x| = 2 ⇒ x = ±2
Como ninguno de esos valores anula al numerador, ambas son asíntotas verticales.
• Asíntota horizontal:
Para calcular las asintotas horizontales calculamos el límite de la función en el infinito.
• Asíntota oblicua:
No tiene asíntotas oblicuas porque el grado del numerador no es uno más que el del denominador.
Además tiene una asíntota horizontal, por lo que no puede tener asíntotas oblicuas.
Calcula:
a) Las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones.
b) La posición de la curva respecto de la asíntota.
a) Para hallar las asíntotas oblicuas tenemos que calcular:
Por lo tanto existe una asíntota oblicua: y = x
b) Para calcular la posición relativa tenemos que calcular:
Por lo tanto la gráfica se situa por encima de la asíntota cuando la función tiende a menos infinito.
Por lo tanto la gráfica se situa por debajo de la asíntota cuando la función tiende a infinito.
Existe otro método para calcular las asíntotas oblicuas:
a) Realizamos la división de los polinomios:
Por lo tanto tenemos que:
Además se cumple lo siguiente:
Luego la recta y = x es asíntota oblicua de la función.
b) Para calcular la posición relativa respecto a la asíntota oblicua calculamos:
La gráfica queda por encima de la asíntota cuando tiende a menos infinito.
La gráfica queda por debajo de la asíntota cuando tiende a infinito.
Calcula:
a) Las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones.
b) La posición de la curva respecto de la asíntota.
a) La asíntota oblicua sería: y = 2x + 3
b) Para saber la posición respecto a la asíntota calculamos:
Es decir, la gráfica queda por debajo de la asíntota cuando la función tiende a menos infinito.
Es decir, la gráfica queda por encima de la asíntota cuando la función tiende a infinito.
Como el grado del numerador es 2 veces mayor que el del denominador, la asíntota oblicua es una rama parabólica.
a) Realizamos la división de los polinomios:
Por lo tanto tenemos que:
Además se cumple lo siguiente:
Luego y = x2 + 2 es asíntota oblicua no lineal o de rama parabólica de la función.
b) Para saber la posición respecto a la asíntota calculamos:
Como el límite es +∞ tiene una rama parabólica hacia arriba.
Calcula todas las asíntotas de las siguiente funciones:
• Asíntota vertical:
Las asíntotas verticales corresponden a los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En este caso ocurre para x = - 2 .
• Asíntota horizontal:
Para calcular las asintotas horizontales calculamos el límite de la función en el infinito.
• Asíntota oblicua:
Para hallar las asíntotas oblicuas tenemos que calcular:
Por lo tanto existe una asíntota oblicua: y = x - 2
Calcula todas las asíntotas de las siguiente funciones:
• Asíntota vertical:
Las asíntotas verticales corresponden a los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En este caso al no tener numerador no existen asíntotas verticales.
• Asíntota horizontal:
Para calcular las asintotas horizontales calculamos el límite de la función en el infinito.
• Asíntota oblicua:
Para hallar las asíntotas oblicuas tenemos que calcular:
Para m = 1 :
Para m = -1 :
Por lo tanto tenemos dos asíntotas oblicuas:
• y = x cuando x → +∞
• y = - x cuando x → -∞
• Asíntota vertical:
Las asíntotas verticales corresponden a los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En este caso ocurre para x = 0 .
• Asíntota horizontal:
Para calcular las asintotas horizontales calculamos el límite de la función en el infinito.
• Asíntota oblicua:
Para hallar las asíntotas oblicuas tenemos que calcular:
Por lo tanto existe una asíntota oblicua: y = x
Calcula todas las asíntotas de las siguiente funciones:
• Asíntota vertical:
Las asíntotas verticales corresponden a los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En este caso ocurre para x = - 5 .
• Asíntota horizontal:
Para calcular las asintotas horizontales calculamos el límite de la función en el infinito.
• Asíntota oblicua:
Para hallar las asíntotas oblicuas tenemos que calcular:
Para m = 1 :
Para m = - 1 :
Por lo tanto tenemos dos asíntotas oblicuas:
• y = x - 5/2 cuando x → +∞
• y = - x + 5/2 cuando x → -∞
Calcula todas las asíntotas de las siguiente funciones:
• Asíntota vertical:
Las asíntotas verticales corresponden a los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En este caso la función puede expresarse de la siguiente manera:
El denominador siempre es distinto de cero para cualquier valor de x.
Por lo tanto no existen asíntotas verticales.
• Asíntota horizontal:
Para calcular las asintotas horizontales calculamos:
Luego la función tiene una asíntota horizontal en y = 1
Para calcular la posición relativa de la gráfica:
Por lo tanto, la gráfica se sitúa por encima de la asíntota horizontal cuando tiende a menos infinito y cuando tiende a infinito.
• Asíntota oblicua:
La función tiene una asíntota horizontal, por lo tanto no puede tener asíntotas oblicuas.
Calcula todas las asíntotas de las siguiente funciones:
• Asíntota vertical:
Las asíntotas verticales corresponden a los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En este caso la función puede expresarse de la siguiente manera:
El denominador siempre es distinto de cero para cualquier valor de x.
Por lo tanto no existen asíntotas verticales.
• Asíntota horizontal:
Para calcular las asintotas horizontales calculamos:
Luego la función tiene una asíntota horizontal en y = 1
Para calcular la posición relativa de la gráfica:
Por lo tanto, la gráfica se sitúa por encima de la asíntota horizontal cuando tiende a menos infinito y cuando tiende a infinito.
• Asíntota oblicua:
La función tiene una asíntota horizontal, por lo tanto no puede tener asíntotas oblicuas.
SELECTIVIDAD
Considera la curva de ecuación:
a) Determina sus asíntotas.
b) ¿Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto? Justifica la respuesta.
a) Determina sus asíntotas.
• Asíntota vertical:
Las asíntotas verticales corresponden a los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. El denominador se puede descomponer de la siguiente manera:
x2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) ⇒ Las raíces son x = -1 y x = +3
Como ninguno de esos valores anula al numerador, ambas son asíntotas verticales.
• Asíntota horizontal:
Para calcular las asintotas horizontales calculamos el límite de la función en el infinito.
Por lo tanto, la función no tiene asíntotas horizontales.
• Asíntota oblicua:
Realizamos la división de los polinomios:
Por lo tanto tenemos que:
Además se cumple lo siguiente:
Luego la recta y = x + 2 es asíntota oblicua de la función.
b) ¿Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto? Justifica la respuesta.
A las asíntotas verticales no las corta puesto que la función no está definida en los puntos x = -1 y x = 3 .
Para que la función corte a la asíntota oblicua se tiene que cumplir:
f(-2/3) = 4/3
Por lo tanto la función corta a la asíntota oblicua en el punto (-2/3, 4/3) .