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Funciones polinómicas de segundo grado

Las funciones polinómicas de segundo grado se llaman funciones cuadráticas y son del tipo:


definicion

donde   a ≠ 0 , siendo su gráfica una parábola.


Las características generales de las funciones polinómicas de segundo grado son:



1) El dominio de las funciones cuadráticas es R.


2) Tiene un eje de simetría cuya fórmula es:


     eje_simetria


3) El vértice de la parábola es:


     vertice



cuadratica


4) Corta al eje X en dos puntos, uno o ninguno, según el número de raíces reales de   ax2 + bx + c = 0 .


5) Corta el eje Y en el punto   (0, c) .


6) El vértice es un mínimo si   a > 0   y un máximo si   a < 0 .


7) Es concava si   a > 0   y convexa si   a < 0 .


8) Al aumentar   a   en valor absoluto, la parábola se hace más estrecha.


Tipos de funciones cuadráticas

En una función cuadrática   f(x) = ax2 + bx + c  ,  con   a ≠ 0 .


Si   b = 0   y   c = 0

La función   f(x) = ax2   tiene su vértice en el punto   (0, 0)   y su eje de simetría es el eje Y.



cuadratica

Si   b = 0   y   c ≠ 0

La función   f(x) = ax2 + c   tiene su vértice en el punto   (0, c)   y su eje de simetría es el eje Y.



cuadratica


Si   b ≠ 0   y   c = 0

La función   f(x) = ax2 + bx   tiene su vértice y su eje de simetría en:


      vertice_eje



cuadratica


Representa graficamente la función:   f(x) = x2 - 5x + 6

1) Puntos de corte con los ejes:


Para   x = 0   tenemos que f(0) = 6   luego el punto de corte con el eje Y es   (0, 6) .


Para   y = 0   tenemos que 0 = x2 - 5x + 6   así que resolvemos la ecuación de segundo grado:


      ecuacion_2grado


Por lo tanto, los puntos de corte con el eje X son   (2, 0)   y   (3, 0) .


2) Eje de simetría :



3) Vértice de la parábola:


vertice


También podemos hacer   yv = f(5/2)


vertice


3) Máximos o mínimos:


Como   a > 0   entonces tenemos un mínimo, que coincide con el vértice.


minimo


4) Crecimiento o decrecimiento:


Como   a > 0, tenemos que la función es decreciente en el intervalo   (- ∞, 5/2)   y creciente en el intervalo   (5/2, + ∞).


5) Concavidad o convexidad:


Como   a > 0   la función es concava en todo su dominio.


6) Tabla de valores:


Construimos una tabla de valores con los puntos de corte con los ejes, el vértice y otros puntos alrededor de él.


tabla_valores


representa


Representa graficamente la función:   f(x) = - x2 + 5x - 6

1) Puntos de corte con los ejes:


Para   x = 0   tenemos que f(0) = - 6   luego el punto de corte con el eje Y es   (0, - 6) .


Para   y = 0   tenemos que 0 = - x2 + 5x - 6   así que resolvemos la ecuación de segundo grado, siendo sus raíces   x = 2   y   x = 3.


Por lo tanto, los puntos de corte con el eje X son   (2, 0)   y   (3, 0) .


2) Eje de simetría :



3) Vértice de la parábola:


vertice


También podemos hacer   yv = f(5/2)


vertice


3) Máximos o mínimos:


Como   a < 0   entonces tenemos un máximo, que coincide con el vértice.


maximo


4) Crecimiento o decrecimiento:


Como   a < 0, tenemos que la función es creciente en el intervalo   (- ∞, 5/2)   y decreciente en el intervalo   (5/2, + ∞).


5) Concavidad o convexidad:


Como   a < 0   la función es convexa en todo su dominio.


6) Tabla de valores:


Construimos una tabla de valores con los puntos de corte con los ejes, el vértice y otros puntos alrededor de él.


tabla_valores


representa


Estudio completo de funciones.

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