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Optimización de funciones

Procedimiento para resolver los problemas de optimización

1)   Si la función depende de varias variables, tenemos que encontrar una relación entre ellas de forma que podamos optimizar en una sola variable.

2)   Resolvemos la ecuación   f ' (x) = 0   y desechamos las soluciones que sean incoherentes con el problema o no pertenezcan al intervalo de definición.  Con la segunda derivada comprobamos si las soluciones son máximos o mínimos.

3)   Calculamos las imágenes de los extremos relativos.


Ejemplos de optimización de funciones:

Una persona quiere vallar un campo rectangular de 10.000 m2 de superficie. ¿Cuáles serán las dimensiones para que el coste sea mínimo?


1)   Para resolver un problema de optimización debemos encontrar una función a la que calcularle sus extremos (máximos o mínimos).

Por lo tanto tenemos que localizar las variables que definan la función que queremos optimizar.

En nuestro caso las variables que definen a la superficie corresponden al ancho (x) y alto (y) del campo:


     S = x · y      ⇒      10.000 = x · y

A continuación despejamos una de ellas en función de la otra:

     optimizacion

La función que queremos minimizar es la función perímetro dada por:

     P = 2x + 2y


optimizacion

Sustituimos en   P   el valor de y , de manera que nos queda   P   en función de   x :

     optimizacion

2)    Calculamos la primera derivada de   P   y la igualamos a   0:

     optimizacion

Resolvemos la ecuación:

optimizacion

Para x = - 100 no tiene sentido el problema ya que la longitud tiene que ser positiva.

Comprobamos que para   x = 100   la función tiene un mínimo:

     optimizacion

     optimizacion

3)   Calculamos las imágenes de los extremos:

     optimizacion


Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de altura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie de papel.


1)   Para resolver un problema de optimización debemos encontrar una función a la que calcularle sus extremos (máximos o mínimos).

Por lo tanto tenemos que localizar las variables que definan la función que queremos optimizar.

En nuestro caso las variables que definen a la superficie corresponden al ancho (x) y alto (y) del papel:

     S = x · y

Y la relación entre ambas variables es:

     (x - 2) · (y - 4) = 18

A continuación operamos y despejamos una de ellas en función de la otra:

     xy - 4x - 2y + 8 = 18

     y(x - 2) - 4x = 10

Despejando obtenemos la siguiente función:

     optimizacion



optimizacion

2)    Calculamos la primera derivada y la igualamos a 0:

     optimizacion

     optimizacion

Es decir, tenemos que resolver la siguiente ecuación:     x2 - 4x - 5 = 0

Los raíces de la ecuación de segundo grado son   x = 5   y   x = - 1  (esta solución la desechamos porque no existen distancias negativas).

Comprobamos que para   x = 5   la función tiene un mínimo:


     optimizacion

     optimizacion


3)   Calculamos las imágenes de los extremos:

     optimizacion

izquierda
         arriba