calculo.cc

Problemas y ejercicios de continuidad de funciones I

Estudiar la siguiente gráfica:

a)   Dominio.

b)   Recorrido.

c)   Extremos absolutos y relativos.

d)   Discontinuidades y su clasificación.

e)   Asíntotas.

a)   Dominio.

La función no está definida en los puntos:   x = -2   ,   x = 5

Dom(f) = R - {-2 , 5}


b)   Recorrido.

Observamos que la gráfica se mueve en eje de ordenadas en el intervalo:    (-3 , ∞)

Im(f) = (-3 , ∞)


c)   Extremos absolutos y relativos.

Extremos absolutos:

     La función no está acotada superiormente.

     La función está acotada inferiormente por   k = -3,  además es la mayor de las cotas inferiores, por tanto es un ínfimo de la función inf(f) = -3. Sin embargo, no llega a alcanzar este punto, por lo que no podemos decir que sea un mínimo absoluto de la función.


Extremos relativos:

     No tiene máximos relativos.

     Tiene dos mínimos relativos en:    (-5 , 2)   ,   (6 , 3)


d)   Discontinuidades y su clasificación.

En   x = -2   la función tiene una discontinuidad de primera especie o de salto infinito. Lo mismo ocurre con  x = 5 . Se comprueba estudiando los límites laterales:

                      límites laterales

En   x = 2  tiene un punto de discontinuidad evitable:

                        f(2) = 1

                      discontinuidad evitable

En  x = 4  tiene una discontinuidad de primera especie o de salto finito:

                      discontinuidad salto finito


e)   Asíntotas.

Asíntotas verticales:    x = - 2   ,   x = 5

Asíntotas horizontales:

     asíntotas horizontales

     No tiene asíntotas horizontales.

Asíntota oblícua:

     Si    y = 0     ⇒     x = 5

     La asíntota oblicua es:      y = x - 5

Estudiar la siguiente gráfica:

a)   Dominio.

b)   Recorrido.

c)   Extremos absolutos y relativos.

d)   Discontinuidades y su clasificación.

e)   Asíntotas.

a)   Dominio.

La función no está definida en el punto:   x = 2

Dom(f) = R - {2} = (-∞ , 2) ∪ (2 , ∞)


b)   Recorrido.

Observamos que la gráfica se mueve a lo largo de todo el eje de ordenadas.

Im(f) = R


c)   Extremos absolutos y relativos.

Extremos absolutos:

     La función no está acotada ni superior ni inferiormente, por lo que no tiene ni máximos ni mínimos absolutos.


Extremos relativos:

     La función tiene un máximo relativo en:    (0 , 0)

     La función tiene un mínimo relativo en:   (-3 , -3)


d)   Discontinuidades y su clasificación.

     En   x = 2  la función tiene una discontinuidad de primera especie o de salto infinito:

                      límites infinitos laterales

     En   x = 4 :

                     f(4) = 0

                     límites laterales

     Es una discontinuidad evitable.


e)   Asíntotas.

Asíntotas verticales:    x = 2

Asíntotas horizontales:

     asíntota horizontal

        Tiene una asíntota horizontal en:     y = 0

Asíntota oblícua:   como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua.

Estudia el dominio y la discontinuidad de las siguientes funciones:

función racional


Para ver su dominio calculamos los puntos que anulan al denominador:    x - 5 = 0     ⇔     x = 5

Dom(f) = R - {5}

Veamos que tipo de discontinuidad es x = 5 :

limites laterales


Como  f(5)   no existe y los límites laterales dan  ±∞ ,   la función   f  tiene una discontinuidad de primera especie o de salto infinito en   x = 5 .



función racional


Para ver su dominio calculamos los puntos que anulan al denominador:

raíces complejas

Los valores que anulan el denominador son complejos, por tanto, la función está bien definida para todo número real.

Luego:     Dom(f) = R


La función es continua en toda la recta real, por tanto, no tiene puntos de discontinuidad.



función racional


Para ver su dominio calculamos los puntos que anulan el denominador:

x2 - 5x + 6 = 0     ⇔     x = 3   ,   x = 2

Luego:     Dom(f) = R - {2 , 3}


Veamos que tipo de discontinuidad son:

x = 2

límites laterales

Como   f(2)   no existe y los límites laterales dan   ∞ ,  la función   f   tiene una discontinuidad de primera especie o de salto infinito.


x = 3

límites laterales

Como   f(3)   no existe y los límites laterales dan   ∞ ,  la función   f   tiene una discontinuidad de primera especie o de salto infinito.

Estudiar la continuidad de la función

selectividad

y clasificar sus diferentes tipos de discontinuidad.

Veamos cuáles son los puntos que anulan el denominador:

x2 + 3x + 2 = 0     ⇔     x = - 2   ,   x = - 1

Estudiemos la continuidad en dichos puntos:


x = -2

    f(-2)    no existe

selectividad

Como   f(-2)   no existe y los límites laterales dan   ∞ ,  la función   f   tiene una discontinuidad de primera especie o de salto infinito en el punto  x = -2 .


x = -1

    f(-1)    no existe

selectividad

Como   f(-1)   no existe y el límite cuando   x → -1   es finito (igual a -2) , la función   f   tiene una discontinuidad evitable en el punto   x = - 2 .

Por tanto, la función es continua en   R - {-2 , -1} .


Estudiar la continuidad de la función

selectividad

clasificando las discontinuidades que se encuentren. ¿Es posible definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad?

Veamos cuáles son los puntos que anulan el denominador:

x2 - 5x + 6 = 0     ⇔     x = 2   ,   x = 3

Estudiemos la continuidad en dichos puntos:


x = 2

  f(2)   no existe

límite 0/0


Para resolver la indeterminación factorizamos numerador y denominador:

x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Factorizamos el numerador por Ruffini probando primero con alguna de las raíces del denominador:

selectividad ruffini

x3 - 5x + 2 = (x - 2)(x2 + 2x - 1)


resolución indeterminación 0/0

Como   f(2)   no existe y el límite cuando   x → 2   es finito (igual a -7) , la función   f   tiene una discontinuidad evitable en el punto  x = 2 .



x = 3

  f(3)   no existe

límites laterales

Como   f(3)   no existe y los límites laterales dan   ∞  ,  la función  f   tiene una discontinuidad de primera especie o de salto infinito en   x = 3 .

Por tanto, la función es continua en   R - {2 , 3} .


Como en   x = 2  la discontinuidad es evitable, podemos redefinir la función  f  para que sea continua en dicho punto.

Para ello, definimos   f  en   x = 2   como el resultado del límite de   f   cuando x → 2 :

redefinir una función

Estudia el dominio y la discontinuidad de las siguientes funciones:

función irracional


Para ver su dominio calculamos los puntos que hacen positivo el argumento de la raíz:      5 - x ≥ 0     ⇔     x ≥ 5

Dom(f) = [5 , ∞)

La función es continua en todos los puntos de su dominio, es decir, es continua en el intervalo [5 ,∞) . Por tanto, no tiene puntos de discontinuidad.



función irracional


Para ver su dominio calculamos los puntos que hacen positivo los argumentos de cada raíz:

3 + x ≥ 0     y     3 - x ≥ 0


Resolvemos el sistema de inecuaciones:

sistema de inecuaciones

Dom(f) = (-∞ , -3] ∩ [3 , ∞) = [-3 , 3]

La función es continua en todos los puntos de su dominio, es decir, es continua en el intervalo [-3 , 3] . Por tanto, no tiene puntos de discontinuidad.



función irracional


Para ver su dominio calculamos los puntos que hacen positivo el argumento de la raíz:

3 - 2x - x2 = 0     ⇔     x = 1   ,   x = -3

3 - 2x - x2 = - (x - 1)(x + 3) ≥ 0

Estudiamos el signo en los intervalos:     (-∞ -3)   ,   (-3 , 1)   ,   (1 , ∞)

•   (-∞ , -3) :     x = -4     ⇒     - (-4 - 1)(-4 + 3) < 0

•   (-3 , 1) :     x = 0     ⇒     - (0 - 1)(0 + 3) > 0

•   (1 , ∞) :     x = 2     ⇒     - (2 - 1)(2 + 3) < 0

Por tanto:     3 - 2x - x2 ≥ 0     ⇔     x ∈ [- 3 , 1]

Dom(f) = [-3 , 1]


La función es continua en todos los puntos de su dominio, es decir, es continua en el intervalo  [-3 , 1] .  Por tanto, no tiene puntos de discontinuidad.



función irracional


Para ver su dominio calculamos los puntos que hacen positivo el argumento de la raíz:

x2 - 6x + 9 = 0     ⇔     x = 3

x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 ≥ 0

El argumento de la raíz siempre es mayor o igual que 0.

Por tanto, la función f está bien definida en toda la recta real.

Dom(f) = R


Es continua en todos los puntos de su dominio, por lo que no tiene puntos de discontinuidad.

Estudia la continuidad de la siguiente función y dibújala:

función irracional


Hallamos el dominio de la función:


inecuación


Estudiamos el signo en los intervalos:     ( -∞ , -2)   ,   (-2 , 2)   ,   (2 , ∞)


•   (-∞ , - 2):     x = - 3     ⇒     (x + 2)(x - 2) = (- 3 + 2)(- 3 - 2) = 5 > 0


•   (-2 , 2):     x = 0     ⇒     (x + 2)(x - 2) = 2 · (-2) = -4 < 0


•   (2 , ∞):     x = 3     ⇒     (x + 2)(x - 2) = (3 + 2)(3 - 2) = 5 > 0


Por tanto:     Dom f = (-∞ , -2) ∪ (2 , ∞)


Por tanto tenemos que estudiar la continuidad de la función en los puntos:     x = 2 , x = - 2


f(2) = 0

límites laterales

La función   f   tiene una discontinuidad de segunda especie o asintótica en el punto  x = 2 .


f(-2) = 0

límites laterales

La función   f   tiene una discontinuidad de segunda especie o asintótica en el punto  x = -2 .


Por tanto, la función es continua en:     (-∞ , -2) ∪ (2 , ∞)


discontinuidad asintótica

Estudia el dominio y la discontinuidad de las siguientes funciones:

logaritmo neperiano


Para ver su dominio calculamos los puntos que hacen estrictamente positivo el argumento del logaritmo:

x2 - 4 > 0     ⇔     x2 > 4     ⇔     |x| >√4     ⇔     |x| >2     ⇔     x < -2   y   x > 2     ⇔     x ∈ (-∞ , -2) ∪ (2 , ∞)


Dom(f) = (-∞ , -2) ∪ (2 , ∞)


Es continua en todos los puntos de su dominio, es decir, es continua en  (-∞ , -2) ∪ (2 , ∞) .   Por tanto, la función no tiene puntos de discontinuidad.



logaritmo neperiano


El argumento del logaritmo es racional. El único punto que anula su denominador es x = 0 .     

Veamos ahora para qué puntos el argumento del logaritmo es estrictamente positivo:


inecuación

También se tiene que cumplir:      x ≠ 0


Dom(f) = (-2 , ∞) - {0} = (-2 , 0) ∪ (0 , ∞)

Es continua en todos los puntos de su dominio, es decir, es continua en  (-2 , 0) ∪ (0 , ∞) .   Por tanto, la función no tiene puntos de discontinuidad.