Problemas y ejercicios de continuidad III
Estudia la continuidad de las siguientes funciones y dibújalas:
Como las funciones que definen f son continuas, los únicos puntos donde podría haber problema es en el de abscisa: x = 0
f(0) = 0 - 2 = - 2
Como los límites laterales coinciden tenemos que:
Tenemos que:
Luego la función es continua también en x = 0.
La función f es continua en todo R .
Como las funciones que definen f son continuas, los únicos puntos donde podría haber problema es en el de abscisa: x = 3
f(3) = 21 - 15 = 6
Como los límites laterales coinciden tenemos que:
Tenemos que:
Luego la función es continua también en x = 3.
La función f es continua en todo R .
SELECTIVIDAD
Considere la función f(x) = |x| + |x - 2| .
a) Exprese la función f(x) como una función definida a trozos.
b) Estudie la continuidad de la función y dibújela.
a) Exprese la función f(x) como una función definida a trozos.
Estudiamos cada valor absoluto por separado:
A continuación, estudiamos la suma de los valores de |x| y |x - 2| en los tres intervalos que se generan: (-∞ 0) , (0, 2) y (2, +∞) .
Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:
b) Estudie la continuidad de la función y dibújela.
Las funciones que definen a f son polinómicas, por lo que son continuas en todo R , y en particular, lo son en sus intervalos de definición.
Estudiamos la continuidad de f en los puntos de unión: x = 0 , x = 2
x = 0
f(0) = 2
Como los límites laterales coinciden, el límite cuando x → 0 existe y además:
Luego la función es continua en x = 0 .
x = 2
f(2) = 2·2 - 2 = 2
Como los límites laterales coinciden, el límite cuando x → 2 existe y además:
Luego la función es continua en x = 2 .
Por tanto, la función f es continua en todo R .
Estudia la continuidad de la siguiente función y dibújala:
Estudiamos cada valor absoluto por separado:
A continuación, estudiamos la suma de los valores de |3x + 1| y |3 - x| en los tres intervalos que se generan: (-∞, -1/3) , (1/3, 3) y (3, +∞) .
Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:
Como las funciones que definen f son continuas, los únicos puntos donde podría haber problema son en los de abscisa: x = -1/3 , x = 3
x = - 1/3
f(-1/3) = 2/3 - 4 = -10/3
Como los límites laterales coinciden tenemos que:
Tenemos que:
Luego la función es continua también en x = -1/3 .
x = 3
f(3) = 4·3 - 2 = 10
Como los límites laterales coinciden tenemos que:
Tenemos que:
Luego la función es continua también en x =3 .
Por tanto, la función f es continua en todo R .
SELECTIVIDAD
Sea f: R → R la función definida por f(x) = x|x - 4| .
a) Estudia la continuidad de f.
b) Esboza la gráfica de f.
a) Estudia la continuidad de f.
Definimos la función f por trozos:
Las funciones que definen a f son polinómicas, por lo que son continuas en todo R y particular, lo son en sus respectivos intervalos de definición. Por tanto, la función f es continua en: (-∞ , 4) ∪ (4 , ∞)
Veamos la continuidad en el punto de unión: x = 4
x = 4
f(4) = 42 - 4·4 = 0
Como los límites laterales coinciden, el límite cuando x → 4 existe y además:
Luego la función f es continua en todo R .
b) Esboza la gráfica de f.
Hallamos los puntos de corte con los ejes:
• Si x = 0 : y = f(0) ⇒ y = 0 ⇒ (0 , 0)
• Si y = 0 : - x2 + 4x = 0 ⇒ x(- x + 4) = 0 ⇒ x = 0 ó x = 4 ⇒ (0 , 0) , (4 , 0)
x2 - 4x = 0 ⇒ x(x - 4) = 0 ⇒ x = 0 ó x = 4 ⇒ (0 , 0) , (4 , 0)
Ambas ramas de f son funciones polinómicas de segundo grado, por lo que son parábolas. Para dibujarlas vamos a calcular sus respectivos vértices:
Estudia la continuidad de la siguiente función y dibújala:
Resolvemos la inecuación: - x2 + 6x - 8 ≥ 0
- x2 + 6x - 8 = 0
A continuación estudiamos el signo en: A = (-∞, 2) B = (2, 4) C = (4, +∞)
• Intervalo A: x = 0 ⇒ - x2 + 6x - 8 = - 8 < 0
• Intervalo B: x = 3 ⇒ - x2 + 6x - 8 = -(3)2 + 6·3 - 8 = 1 > 0
• Intervalo C: x = 5 ⇒ - x2 + 6x - 8 = -(5)2 + 6·5 - 8 = - 3 < 0
Por tanto, tendremos que - x2 + 6x - 8 ≥ 0 en el intervalo B.
Y será - x2 + 6x - 8 < 0 en los intervalos A y C .
La función queda por lo tanto de la siguiente manera:
Como las funciones que definen f son continuas, los únicos puntos donde podría haber problema son en los de abscisa: x = 2 , x = 4
x = 2
f(2) = 22 - 6·2 + 8 = 0
Como los límites laterales coinciden tenemos que:
Tenemos que:
Luego la función es continua también en x = 2 .
x = 4
f(4) = 42 - 6·4 + 8 = 0
Como los límites laterales coinciden tenemos que:
Tenemos que:
Luego la función es continua también en x = 4 .
Por tanto, la función f es continua en todo R .
Estudia la continuidad de la siguiente función:
Es discontinua en todos los puntos de abscisa que son números enteros.
Por la gráfica observamos que son discontinuidades de primera especie o de salto finito, pues todas tienen un salto de longitud igual a 1.
Como son discontinuidades de salto finito, son de tipo inevitable.
Por ejemplo, vamos a estudiar la continuidad en el punto x = 2 ∈ Z :
f(2) = E(2) = 2
Como los límites laterales no coinciden:
La función es discontinua en x = 2 .
Como ambos límites son finitos, la discontinuidad es de primera especie o de salto finito.
Es discontinua en todos los puntos de abscisa que son números enteros.
Por la gráfica observamos que son discontinuidades de primera especie o de salto finito, pues todas tienen un salto de longitud igual a 1.
Como son discontinuidades de salto finito, son de tipo inevitable.
Por ejemplo, vamos a estudiar la continuidad en el punto x = 3 ∈ Z :
f(3) = Dec(3) = 0
Como los límites laterales no coinciden:
La función es discontinua en x = 3 .
Como ambos límites son finitos, la discontinuidad es de primera especie o de salto finito.
Estudia la continuidad de la siguiente función:
La función es continua en cada rama (son funciones constantes), el único punto en el que puede haber problema es en el de abscisa: x = 0
f(0) = 0
Como los límites laterales no coinciden:
La función f tiene una discontinuidad en x = 0 .
Como los límites son finitos, se trata de una discontinuidad de primera especie o de salto finito.
La función es continua en cada rama (son funciones constantes), en los únicos puntos en los que puede haber problema son en los de abscisa: x = - 1 , x = 1
x = - 1
f(-1) = 0
Los límites laterales cuando x → -1 no coinciden, por tanto, la función f no es continua en x = - 1 .
La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = - 1 .
x = 1
f(1) = 0
Los límites laterales cuando x → 1 no coinciden, por tanto, la función f no es continua en x = 1 .
La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 1 .