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Problemas y ejercicios de continuidad  III

Estudia la continuidad de las siguientes funciones y dibújalas:

función con valor absoluto


función definida a trozos


Como las funciones que definen   f  son continuas, los únicos puntos donde podría haber problema es en el de abscisa:    x = 0

   f(0) = 0 - 2 = - 2


límites laterales


Como los límites laterales coinciden tenemos que:

límite en un punto

Tenemos que:

valor absoluto es continuo

Luego la función es continua también en   x = 0.

La función   f   es continua en todo R .





gráfica valor absoluto





función con valor absoluto


función a trozos


Como las funciones que definen   f  son continuas, los únicos puntos donde podría haber problema es en el de abscisa:    x = 3


   f(3) = 21 - 15 = 6


límites laterales


Como los límites laterales coinciden tenemos que:

límite en un punto

Tenemos que:

función continua

Luego la función es continua también en   x = 3.

La función   f   es continua en todo R .

gráfica con valor absoluto


Considere la función   f(x) = |x| + |x - 2| .

a) Exprese la función   f(x)  como una función definida a trozos.

b) Estudie la continuidad de la función y dibújela.


a)   Exprese la función   f(x)  como una función definida a trozos.


Estudiamos cada valor absoluto por separado:

funcion a trozos

funcion a trozos

A continuación, estudiamos la suma de los valores de   |x|   y   |x - 2|   en los tres intervalos que se generan:   (-∞ 0)  ,    (0, 2)    y    (2, +∞) .

          funcion a trozos

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

funcion a trozos


b)   Estudie la continuidad de la función y dibújela.


Las funciones que definen a   f  son polinómicas, por lo que son continuas en todo   R ,  y en particular, lo son en sus intervalos de definición.

Estudiamos la continuidad de f en los puntos de unión:   x = 0   ,   x = 2


x = 0


   f(0) = 2

límites laterales

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando   x → 0  existe y además:

condición de continuidad

Luego la función es continua en   x = 0 .


x = 2


   f(2) = 2·2 - 2 = 2

límites laterales

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando   x → 2   existe y además:

condición de continuidad en un punto

Luego la función es continua en   x = 2 .


Por tanto, la función   f  es continua en todo  R .


gráfica con valor absoluto

Estudia la continuidad de la siguiente función y dibújala:

función con valor absoluto


Estudiamos cada valor absoluto por separado:

funcion a trozos

funcion a trozos

A continuación, estudiamos la suma de los valores de   |3x + 1|   y   |3 - x|   en los tres intervalos que se generan:   (-∞, -1/3)  ,    (1/3, 3)    y    (3, +∞) .


          funcion a trozos

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

funcion a trozos

Como las funciones que definen   f  son continuas, los únicos puntos donde podría haber problema son en los de abscisa:    x = -1/3    ,    x = 3


x = - 1/3


    f(-1/3) = 2/3 - 4 = -10/3


límites laterales

Como los límites laterales coinciden tenemos que:

límite en un punto

Tenemos que:

continuidad en un punto

Luego la función es continua también en   x = -1/3 .



x = 3


   f(3) = 4·3 - 2 = 10


límites laterales

Como los límites laterales coinciden tenemos que:

límite en un punto

Tenemos que:

continuidad en un punto

Luego la función es continua también en   x =3 .


Por tanto, la función    f    es continua en todo R .


gráfica función

Sea   f: R → R   la función definida por   f(x) = x|x - 4| .

a)   Estudia la continuidad de f.

b)   Esboza la gráfica de f.


a)   Estudia la continuidad de f.


Definimos la función   f  por trozos:

continuidad del valor absoluto

Las funciones que definen a   f   son polinómicas, por lo que son continuas en todo  R  y particular, lo son en sus respectivos intervalos de definición. Por tanto, la función   f   es continua en:    (-∞ , 4) ∪ (4 , ∞)

Veamos la continuidad en el punto de unión:   x = 4


x = 4

   f(4) = 42 - 4·4 = 0

límites laterales

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando  x → 4  existe y además:

condición de continuidad


Luego la función   f   es continua en todo R .


b)   Esboza la gráfica de f.


Hallamos los puntos de corte con los ejes:

•   Si   x = 0 :        y = f(0)     ⇒     y = 0     ⇒     (0 , 0)

•   Si   y = 0 :        - x2 + 4x = 0     ⇒     x(- x + 4) = 0     ⇒     x = 0   ó   x = 4     ⇒     (0 , 0)  ,  (4 , 0)

                            x2 - 4x = 0     ⇒     x(x - 4) = 0     ⇒     x = 0   ó   x = 4     ⇒     (0 , 0)  ,  (4 , 0)


Ambas ramas de  f  son funciones polinómicas de segundo grado, por lo que son parábolas. Para dibujarlas vamos a calcular sus respectivos vértices:

vértices parábolas


gráfica de parábolas

Estudia la continuidad de la siguiente función y dibújala:

función con valor absoluto


valor absoluto


Resolvemos la inecuación:   - x2 + 6x - 8 ≥ 0

- x2 + 6x - 8 = 0


ecuacion 2 grado


A continuación estudiamos el signo en:   A = (-∞, 2)      B = (2, 4)      C = (4, +∞)


•   Intervalo A:   x = 0   ⇒   - x2 + 6x - 8 = - 8 < 0

•   Intervalo B:   x = 3   ⇒   - x2 + 6x - 8 = -(3)2 + 6·3 - 8 = 1 > 0

•   Intervalo C:   x = 5   ⇒   - x2 + 6x - 8 = -(5)2 + 6·5 - 8 = - 3 < 0


Por tanto, tendremos que  - x2 + 6x - 8 ≥ 0  en el intervalo B.

Y será  - x2 + 6x - 8 < 0  en los intervalos A y C .


La función queda por lo tanto de la siguiente manera:


funcion a trozos


Como las funciones que definen   f  son continuas, los únicos puntos donde podría haber problema son en los de abscisa:    x = 2    ,    x = 4


x = 2


   f(2) = 22 - 6·2 + 8 = 0


límites laterales


Como los límites laterales coinciden tenemos que:

límite en un punto

Tenemos que:

continuidad en un punto

Luego la función es continua también en   x = 2 .


x = 4


   f(4) = 42 - 6·4 + 8 = 0


límites laterales


Como los límites laterales coinciden tenemos que:

límite en un punto

Tenemos que:

continuidad en un punto

Luego la función es continua también en   x = 4 .


Por tanto, la función    f    es continua en todo R .


gráfica función



Estudia la continuidad de la siguiente función:


Es discontinua en todos los puntos de abscisa que son números enteros.

Por la gráfica observamos que son discontinuidades de primera especie o de salto finito, pues todas tienen un salto de longitud igual a 1.

Como son discontinuidades de salto finito, son de tipo inevitable.

Por ejemplo, vamos a estudiar la continuidad en el punto  x = 2 ∈ Z :


   f(2) = E(2) = 2


límites laterales parte entera


Como los límites laterales no coinciden:

límite parte entera

parte entera

La función es discontinua en x = 2 .

Como ambos límites son finitos, la discontinuidad es de primera especie o de salto finito.



parte decimal


Es discontinua en todos los puntos de abscisa que son números enteros.

Por la gráfica observamos que son discontinuidades de primera especie o de salto finito, pues todas tienen un salto de longitud igual a 1.

Como son discontinuidades de salto finito, son de tipo inevitable.

Por ejemplo, vamos a estudiar la continuidad en el punto  x = 3 ∈ Z :


   f(3) = Dec(3) = 0


límites parte decimal


Como los límites laterales no coinciden:

límite parte decimal

parte decimal o mantisa

La función es discontinua en x = 3 .

Como ambos límites son finitos, la discontinuidad es de primera especie o de salto finito.

Estudia la continuidad de la siguiente función:

función signo


función signo


La función es continua en cada rama (son funciones constantes), el único punto en el que puede haber problema es en el de abscisa:    x = 0


   f(0) = 0


límites función signo


Como los límites laterales no coinciden:

límite función signo

función signo

La función f tiene una discontinuidad en   x = 0 .

Como los límites son finitos, se trata de una discontinuidad de primera especie o de salto finito.



función signo


continuidad función signo

continuidad signo


La función es continua en cada rama (son funciones constantes), en los únicos puntos en los que puede haber problema son en los de abscisa:    x = - 1   ,   x = 1


x = - 1


   f(-1)  = 0

límites laterales


Los límites laterales cuando  x →   -1  no coinciden, por tanto, la función  f  no es continua en  x = - 1 .

La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = - 1 .



x = 1


   f(1)  = 0

límites laterales


Los límites laterales cuando  x →  1  no coinciden, por tanto, la función  f  no es continua en  x = 1 .

La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 1 .


funcion signo