Problemas y ejercicios de límites y continuidad con parámetros

Observamos que   x=3   es raíz tanto del numerador como del denominador, lo que nos da una indeterminación:

Como   x=3   es raíz del denominador lo factorizamos mediante Ruffini.

Luego:     x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

Como el límite tiene que dar   1 ,  lo igualamos con nuestro resultado:

Vamos a intentar resolver el límite como si no hubiese parámetro. Para ello, multiplicamos y dividimos por la conjugada de la expresión:

Dividimos numerador y denominador por x (el argumento de la raíz se divide por x²):

El enunciado exige que el resultado del límite sea 2, por tanto:

                           

Como el límite tiene que dar   e³ ,  lo igualamos con nuestro resultado:

Para que la discontinuidad en x = -2 sea evitable, el límite cuando x → -2 tiene que ser una indeterminación del tipo:    0/0

Exigiendo que los límites del numerador y del denominador cuando   x → -2   tienen que ser   0  obtenemos:

                    8 - 2a = 0     ⇔     8 = 2a     ⇔     a = 4

Vamos a comprobar que para a = 4 se tiene la discontinuidad evitable que buscamos.

Factorizamos el numerador y el denominador:

x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

Sabemos que el denominador se anula en x = -2:

x³ + x² + ax + 12 = (x + 2)(x² - x + 6)

Como f(-2) no existe y el límite cuando x → -2 es finito (igual a -1/3) la función f tiene una discontinuidad de primera especie o de salto finito en x = -2 .

Como es de salto finito, se trata de una discontinuidad evitable.

Las funciones que definen a f son continuas para cualquier valor de k.

El único punto en el que puede haber problema es en el de abscisa:    x = 1

  f(1) = 2·1 + 1 = 3

Para que el límite cuando   x → 1   exista, los límites laterales tienen que coincidir:

Luego:

Y observamos que:

La función   f   es continua en   x = 1 .

Las funciones que definen   f   son polinómicas, por tanto, son continuas en todo   R .

El único punto en el que puede haber problema es en el de abscisa:    x = 1

   f(1) = 1² + 1 = 2

Para que el límite cuando   x → 1   exista, los límites laterales tienen que coincidir:

Para que la función f sea continua en  x = 1  se tiene que cumplir:

Si   a = -1   la función   f   es continua en todo punto de la recta real.

Las funciones que definen a   f   son continuas en todos los números reales para cualquier valor de  a  y  b.

Los únicos puntos en los que puede haber problema son en los de abscisa:    x = 1  ,   x = 3

x = 1

   f(1) = 5

Para que el límite cuando   x → 1   exista, los límites laterales tienen que coincidir:

Para que la función f sea continua en  x = 1  se tiene que cumplir:

x = 3

   f(3) = - 2

Para que el límite cuando   x → 3   exista, los límites laterales tienen que coincidir:

Para que la función f sea continua en  x = 3  se tiene que cumplir:

Reuniendo ambas ecuaciones tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Si   a = -7/2   y   b = 17/2  se cumplen ambas condiciones de continuidad, y entonces, la función  f  es continua en todo R .

Para x≠2 la función está definida como una función racional, la cual no esta definida para el valor que anula el denominador:    x = 2

Por tanto, para cualquier valor de   k   la función   f   es continua en todo punto menos en   x = 2 .

Para que la función sea continua en   x = 2   se tiene que cumplir la condición de continuidad:

  f(2) = k

Para resolver el límite factorizamos el numerador mediante Ruffini:

p(x) = x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4)

Imponiendo la condición de continuidad en  x = 2  obtenemos:

Luego la función   f  es continua en todo punto si, y sólo si,  k = 12 .

Veamos primero la continuidad de cada rama de la función:

•   f(x) = x + a   es una función polinómica, por lo que es continua en todo R, y en particular es continua en su intervalo de definición: (-∞ , 0]

     El único valor que anula al denominador es  x = 0 ,   pero no pertenece al intervalo de definición de esta rama:   x=0 ∉ (0 , 1)

     Por tanto, f(x) es continua en (0 , 1) .

•   f(x) = bx   es una función polinómica, por lo que es continua en todo R, y en particular es continua en su intervalo de definición: [1 , ∞)

Estudiamos la continuidad en los puntos de unión de las ramas da la función:     x = 0   ,   x = 1

x = 0

Para que f sea continua en x = 0 se tiene que cumplir:

   f(0) = a

Para que el límite cuando x → 0 exista los límites laterales tienen que coincidir:

Luego si   a = 1/3   la función f es continua en x = 0 :

x = 1

Para que f sea continua en x = 0 se tiene que cumplir:

 f(1) = b

Para que el límite cuando x → 0 exista los límites laterales tienen que coincidir:

Luego si   b = √2/3   la función f es continua en x = 1 :

Por tanto, si   a = 1/3   y   b = √2/3  la función   f   es continua en todo   R .

a)   Determina el valor de  a  sabiendo que f es continua (y que a > 0).

Reescribimos la función:

Las funciones que definen  f  son continuas en todo  R , y en particular lo son en sus respectivos intervalos de definición.

Como nos afirman que la función   f  es continua, en particular lo es en los puntos de unión:   x = 2   ,   x = 5

En cada caso se tiene que cumplir:    

x = 2

   f(2) = - 2 + 5 = 3

Para que el límite cuando  x → 2  exista los límites laterales tienen que coincidir:

Si   a = 3 > 0  se cumple la condición de continuidad:

x = 5

   f(5) = 5 - 5 = 0

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando   x → 5  existe y vale:

Por tanto, para que la función sea continua en   (-∞ , 10)   tiene que ser a = 3 .

b)   Esboza la gráfica de f.

Hallamos los puntos de corte con los ejes:

•   Si   x = 0 :     y = f(0) = 3⁰ - 6 = 1 - 6 = - 5     ⇒     (0 , -5)

•   Si   y = 0 :     3^x - 6 = 0     3^x = 6     ⇒     log₃ 6 = x     ⇒     (log₃ 6 , 0)

                         - x + 5 = 0     ⇒     x = 5     ⇒     (5 , 0)

                           x - 5 = 0     ⇒     x = 5     ⇒     (5 , 0)

Como la función es continua en los puntos de unión, podemos hallar dichos puntos:

•   x = 2 :     f(2) = - 2 + 5 = 3     ⇒     (2 , 3)

•   x = 5 :     f(5) = 5 - 5 = 0     ⇒     (5 , 0)

La función f no tiene asíntotas verticales. Veamos si tiene horizontales:

Hay una asíntota horizontal en  y = -6.

Como hay asíntota horizontal, no hay oblicua.

SELECTIVIDAD

Las funciones que definen a  f   son funciones continuas en todo   R ,  en particular, en sus respectivos intervalos de definición.

Tenemos que estudiar la continuidad en el punto de unión. Según el valor de   a ,  la función   f   se define:

  f(a) = a² - 5a + 7

Para que el límite cuando  x → a  exista los límites laterales tienen que coincidir:

Por tanto, si   a ≤ 2   la función no puede ser continua en a .

Tenemos que estudiar la continuidad en los puntos:   x = 2   ,   x = a

x = 2

 f(2) = 2 - 2 = 0

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando   x → 2  existe y vale:

Luego la función  f  es continua en  x = 2 .

x = a

  f(a) = a² - 5a + 7

Para que el límite cuando  x → a  exista los límites laterales tienen que coincidir:

Si   a = 3  los límites laterales coinciden, y por tanto, el límite cuando   x → a   existe y vale:

Luego la función  f  es continua en  x = a .

Conclusión:

•   Si a ≤ 2 :    la función es continua en    (-∞ , a) ∪ (a , ∞)

•   Si a > 2 :    la función es continua en todo  R .

Las funciones que definen a   f   son funciones continuas en todo  R .

Los únicos valores en los que puede haber problema son en los de abscisa:    x = 0   ,   x = π

x = 0

f(0) = a

Para que el límite cuando   x → 1   exista, los límites laterales tienen que coincidir:

x = π

   f(π) = π/π = 1

Para que el límite cuando   x → π   exista, los límites laterales tienen que coincidir:

Reuniendo ambas ecuaciones tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Las funciones que definen a   f   son funciones continuas en todo  R .

Los únicos valores en los que puede haber problema son en los de abscisa:    x = -π/2   ,   x = π/2

x = -π/2

    f(-π/2) = - 1

Para que el límite cuando   x → -π/2   exista, los límites laterales tienen que coincidir:

x = π/2

     f(π/2) = 0

Para que el límite cuando   x →π/2   exista, los límites laterales tienen que coincidir:

Reuniendo ambas ecuaciones tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

La función será continua en x = 4 si se cumple que:

   f(4) = 2^{4 - 2a}

Para que el límite cuando x → 4 exista, los límites laterales tienen que coincidir:

2^{4 - 2a} = 1     ⇔     2^{4 - 2a} = 2⁰     ⇔     4 - 2a = 0     ⇔     4 = 2a     ⇔     a = 2

Si  a = 2  se cumple:

Luego si  a = 2  la función   f   es continua en el punto  x = 4 .