INICIOInterpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Por tanto el sistema es un sistema compatible determinado.
Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema:
Interpretación geométrica:
Las dos rectas se cortan en el punto (4/5, 8/5) que es la solución del sistema.
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas compatibles determinados: Dos rectas que se cortan en un punto.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Por tanto el sistema es un sistema compatible indeterminado.
Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema:
Interpretación geométrica:
En realidad, solo hay una recta, que es la dada por todas las soluciones del sistema.
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas compatibles indeterminados: Una recta.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
La segunda ecuación del último sistema equivalente es imposible. Por tanto el sistema es un sistema incompatible.
Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema:
Interpretación geométrica:
Obtenemos dos rectas paralelas. No hay soluciones para el sistema y de igual forma no hay puntos de corte de las dos rectas.
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas incompatibles: Dos rectas paralelas.
Sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Por tanto el sistema es un sistema compatible determinado.
Representamos ahora gráficamente las tres rectas dadas por las ecuaciones del sistema:
Interpretación geométrica:
Las tres rectas se cortan en el punto (1, 2) que es la solución del sistema.
Sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas compatibles determinados: Tres rectas que se cortan en un punto.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Por tanto el sistema es un sistema compatible indeterminado.
Representamos ahora gráficamente las tres rectas dadas por las ecuaciones del sistema:
Interpretación geométrica:
En realidad, solo hay una recta, que es la dada por todas las soluciones del sistema.
Sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas compatibles indeterminados: Una recta.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Por tanto el sistema es un sistema incompatible.
Representamos ahora gráficamente las tres rectas dadas por las ecuaciones del sistema:
Interpretación geométrica:
Obtenemos tres rectas que no contienen ningún punto en común. Por lo tanto, no hay soluciones para el sistema.
Sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas incompatibles: Tres rectas que no se cortan en un punto.
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Por tanto el sistema es un sistema compatible determinado.
Interpretación geométrica:
Los tres planos se cortan en el punto (-1, 1, -2) que es la solución del sistema.
Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas compatibles determinados: Tres planos que se cortan en un punto.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Por tanto el sistema es un sistema compatible indeterminado.
Interpretación geométrica:
Los tres planos se cortan en la recta que tiene como ecuación paramétrica
Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas compatibles indeterminados: Tres planos que se cortan en una recta.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
La segunda ecuación del último sistema equivalente es imposible. Por tanto el sistema es un sistema incompatible.
Interpretación geométrica:
a) Los tres planos no se cortan simultáneamente.
b) Dos planos son paralelos y otro plano los corta:
Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas incompatibles: Tres planos que no se cortan simultáneamente (ni en un punto ni en una recta).
Sistemas de dos ecuaciones lineales y tres incógnitas
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Observamos que el sistema es compatible indeterminado.
Interpretación geométrica:
Observamos que los dos planos se cortan en una recta cuya ecuación paramétrica es la siguiente:
Sistemas de dos ecuaciones con tres incógnitas compatibles indeterminados (ecuaciones no proporcionales): Dos planos cuya intersección es una recta.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Observamos que el sistema es compatible indeterminado.
Interpretación geométrica:
Obtenemos un plano cuyas ecuaciones paramétricas son:
Sistemas de dos ecuaciones con tres incógnitas compatibles indeterminados (ecuaciones proporcionales): Dos planos que coinciden.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Observamos que el sistema es incompatible ya que la segunda ecuación del último sistema no tiene solución.
Interpretación geométrica:
Observamos que los dos planos dados por las ecuaciones son paralelos.
Sistemas de dos ecuaciones con tres incógnitas incompatibles: Dos planos paralelos.
Sistema de cuatro ecuaciones lineales con tres incógnitas
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Estudiamos primero qué ocurre con las soluciones del sistema:
Por tanto el sistema es un sistema compatible determinado.
Interpretación geométrica:
Los tres o los cuatro planos se cortan en el punto (1, 1, 0) que es la solución del sistema.
Sistemas de ecuaciones con cuatro ecuaciones y tres incógnitas compatibles determinados: Tres planos o cuatro planos que se cortan en un punto.
