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Ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Se llama ecuación lineal con 2 incógnitas,    x , y   a toda expresión del tipo

donde los números reales    a, b    son los coeficientes y el número real    c    el término independiente.

Ejemplo de ecuación lineal con dos incógnitas

La ecuación lineal con dos incógnitas    -2x - 3y = -6,    que es una recta cuya gráfica mostramos a continuación, tiene infinitas soluciones.

Para cada valor que se dé a la incógnita x, existirá un único valor de la incógnita y, es decir, si x=0, entonces y=2, si x= 3 entonces y = 0...

En general, si tomamos x = λ, entonces

de manera que las soluciones de la ecuación tendrán todas la forma

Ecuaciones lineales con tres incógnitas

Se llama ecuación lineal con 3 incógnitas,    x , y,  z  a toda expresión del tipo

donde los números reales    a, b, c    son los coeficientes y el número real   d   el término independiente.

Ejemplo de ecuación lineal con tres incógnitas

La ecuación lineal con tres incógnitas    x + y - 3z = 5, cuya gráfica es un plano, tiene infinitas soluciones.

Para cada par de valores que se dé a las incógnitas    y, z ,    existirá un único valor de la incógnita x, es decir:

En general, si tomamos z = λ, y = μ, entonces

de manera que las soluciones de la ecuación tendrán todas la forma

Ecuaciones lineales con n incógnitas

Se llama ecuación lineal con n incógnitas,    x1, x2, x3, ..., xn    a toda expresión del tipo

donde los números reales    a1, a2, a3, ..., an    son los coeficientes y el número real    b    el término independiente.


Si     b = 0,    la ecuación recibe el nombre de homogénea.

Ejemplo de ecuación lineal con tres incógnitas

La ecuación lineal con cuatro incógnitas    x + y - 3z + w = 5, tiene infinitas soluciones.

Para cada par de valores que se dé a las incógnitas    y, z , w    existirá un único valor de la incógnita x, es decir:

En general, si tomamos z = λ, y = μ, w = γ, entonces

de manera que las soluciones de la ecuación tendrán todas la forma


Decimos que dos ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.


Para obtener una ecuación equivalente a una ecuación F dada hay que

Multiplicarla por un número real k distinto de cero:     F → k F

Ejemplos de ecuaciones equivalentes

Consideremos las ecuaciones
x + y = 2,
2x +2y = 4

Las ecuaciones son equivalentes ya que la segunda ecuación es el resultado de multiplicar la primera por dos.

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derecha