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Ecuaciones y sistemas matriciales

Ecuaciones o sistemas matriciales son aquellas ecuaciones o sistemas en los que las incógnitas o coeficientes son matrices.

Resumen de ecuaciones matriciales básicas

Ecuación Pasos Solución
X·A = B Multiplicamos por la derecha por A-1 X·A·A-1 = B·A-1   ⇒   X = B · A-1
A·X + B = C Restamos B en ambos miembros
Multiplicamos por la izquierda por A-1
A·X + B - B = C - B   ⇒   A·X = C - B
A-1·A·X = A-1·(C - B)   ⇒   X = A-1 · (C - B)
X·A + B = 3 C Restamos B en ambos miembros
Multiplicamos por la derecha por A-1 >
X·A + B - B = 3 C - B   ⇒   X·A = 3 C - B
X·A·A-1 = ( 3 C - B)·A-1   ⇒   X = (3C - B) · A-1
A·X + B·X = 5C Sacamos X factor común.
Multiplicamos por la izquierda por (A + B)-1
(A +B )·X = 5C
(A + B)-1(A +B )·X = 5(A + B)-1C
⇒   X = 5(A + B)-1·C
X·C - X·A·B = 3C Sacamos X factor común.
Multiplicamos por la derecha por (C + A · B )-1
X·(C + A·B) = 3C
X·(C + A·B )(C + A·B )-1 = 3C(C + A·B )-1
⇒  X = 3C·(C + A · B )-1

Comprobar las siguientes ecuaciones matriciales:


a)   No es correcta, porque hay matrices no nulas que multiplicadas por si mismas dan la matriz cero. Por ejemplo:


b)   Si la matriz    A   tiene inversa la única solución es   X = 0 .  En cambio, si no existe   A-1   pueden haber otras soluciones como en el caso anterior.


c)   Si reescribimos la ecuación de la siguiente forma:      X2 - AX = 0      ⇒      X(X - A) = 0

Se ve que pueden haber otras soluciones, puesto es un caso particular del apartado anterior.


Ejemplos de ecuaciones matriciales

1) Dadas las matrices

Empezamos determinando la matriz inversa de B


Dado que B es una matriz inversible, para encontrar una matriz X tal que se satisfaga la ecuación

A = B · X

bastará con multiplicar por B-1 por la izquierda ambos miembros de la ecuación. De esta forma obtenemos que      B-1 · A = B-1 · B · X = X, es decir

X= B-1 · A

Calculemos ahora la matriz X:

2) Resolver la ecuación matricial A · X = B donde

Si A es inversible, entonces para resolver la ecuación basta con multiplicar ambos miembros de la igualdad por la izquierda por A-1, de manera que obtenemos que

X = A-1 · B

Empezamos intentando calcular la inversa de A:

Como A es inversible,



3) Siendo A y B dos matrices de orden 2, resolver el siguiente sistema matricial


Solución:

izquierda
         arriba
derecha