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Dependencia lineal de filas o columnas. Rango de una matriz

Dependencia lineal

Una fila de una matriz, digamos F1, depende linealmente de las demás filas de la matriz si existen números reales a2, a3, ... , an tales que

 

En caso contrario, las filas F1, F2, ... , Fn son linealmente independientes.


Observamos que

F2 = 3 · F1      y que

F3 = 2 · F1 + F2 = 5 · F1

Consecuentemente, las filas     F2     y    F3    dependen linealmente de la fila     F1.

La misma definición que hemos dado para filas puede darse de forma análoga para columnas.

Rango de una matriz

El rango de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes, es decir:

Una matriz tendrá rango 0 si y sólo si es la matriz nula.

Una matriz cuadrada A de orden n es inversible  ⇔  si rg(A) = n


El rango de una matriz no varía si se suprimen:

Por ejemplo, para la matriz

Hemos visto que las filas F2 y F3 dependen linealmente de la fila F1. Por tanto rg(A) = 1.

Ejemplo de rango de matrices

Dar ejemplos de matrices de orden 2 × 3 que tengan rangos respectivamente 0, 1 y 2.

La matriz O tiene rango 0, ya que es la matriz nula y rg(O)=0.

La matriz A tiene rango 1 ya que F2 = 2 · F1 ⇒ rg(A) = 1.

La matriz A tiene rango 2 ya que sus filas no son proporcionales, de lo cual se sigue que son linealmente independientes, es decir, rg(B) = 2.

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