Potencias de matrices cuadradas

Método de inducción finita

Ejemplos de potencias de matrices

1) Hallar     Aⁿ     siendo :

Solución:

Observamos que la matriz para n cualquiera parece ser

Procedemos por inducción para ver que esto es verdad.

1. Lo hemos probado para los primeros valores de n.
2. Supongamos que se verifica para el valor n.
3. Demostramos que es cierta para n + 1:

de manera que

Por tanto, en general,

2) Hallar     A³⁵     siendo :

Empezamos hallando las primeras potencias:

Parece que en general puede verificarse que

lo probamos por inducción.

1. Lo hemos probado para los primeros valores de n.
2. Supongamos que se verifica para el valor n.
3. Demostramos que es cierta para n + 1:

de manera que por inducción la igualdad que queríamos probar se verifica.

Finalmente si n = 35: