Ejercicios resueltos de ecuaciones logarítmicas
Propiedades de las ecuaciones logarítmicas:
El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número:
a y N son dos números reales positivos (a ≠1 ),
1) Si los logaritmos de dos números son iguales, los números también son iguales:
2) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
3) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador:
4) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base:
5) Cambio de base
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
1) log2 x = 1
x = 21
x = 2
2) log2 x = 4
x = 24
x = 16
3) log2 x = - 2
x = 2 -2 = 1 / 22 = 1 / 4
x = 0,25
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
Llamamos logaritmo decimal al logaritmo en base 10, y se designa: log
1) log x = 1
x = 101
x = 10
2) log x = 2
x = 102
x = 100
3) log x = - 4
x = 10 -4 = 1 / 104 = 1 / 10000
x = 0,0001
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
1) log 10·x = - 5
10-5 = 10·x
x = 0,000001
2) logx 0,001 = - 3
logx 10-3 = - 3
x-3 = 10-3
x = 10
3) log3 (x + 5) =2
x + 5 = 32
x + 5 = 9
x = 4
Se resuelve la ecuación:
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
1) ln (x + 10) = 2
x + 10 = e2
x = e2 - 10
2) log (x - 5) = 2
102 = x - 5
100 = x - 5
x = 105
3) 2·log x - log 4 = 0
2·log x = log 4
2·log x = log 22
2·log x = 2·log 2
log x = log 2
x = 2
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
1) 2·log x - log (x - 16) = 2
Usamos las propiedades de los logaritmos:
log x2 - log (x - 16) = 2
Aplicando la definición de logaritmo tenemos que:
Quitando denominadores tenemos que:
x2 = 100(x - 16)
x2 = 100x - 1600
x2 - 100x + 1600 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
1) 2 log x3 = log 8 + 3 log x
Logaritmo de una potencia: log (x3)2 = log 8 + log x3
Logaritmo del producto: log x6 = log 8x3
Igualamos argumentos: x6 = 8x3
Despejamos la incógnita x:
x6 - 8x3 = 0 ⇒ x3(x3 - 8) = 0
La única solución válida es x = 2 , ya que log 0 no existe.
Quitamos denominadores:
log (16 - x2) = 2·log (3x - 4)
Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia:
log (16 - x2) = log (3x - 4)2
Igualamos los logaritmos:
16 - x2 = (3x - 4)2
16 - x2 = 9x2 - 24x + 16
- 10x2 + 24x = 0
10x2 - 24x = 0
x(10x - 24) = 0
Por tanto tenemos que:
La única solución válida es x = 12/5 , ya que x=0 al sustituir en la ecuación da lugar a logaritmo de un número negativo que no existe.
Resuelve la siguiente ecuación logarítmica:
log 0,1 = -1 / log 1 = 0 / log 10 = 1 / log 100 = 2 / ...
Quitando denominadores tenemos que:
3x + 10 = 16(2x - 3)
3x + 10 = 32x - 48
- 29x = - 58
x = 2