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Ejercicios resueltos de ecuaciones logarítmicas

Propiedades de las ecuaciones logarítmicas:



El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número:


 a   y   N    son dos números reales positivos   (a ≠1 ),




1)   Si los logaritmos de dos números son iguales, los números también son iguales:



          propiedad



2)   El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:



          propiedad



3)   El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador:



          propiedad



4)   El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base:



          propiedad


5)   Cambio de base



Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:


1)   log2 x = 1


x = 21


x = 2



2)   log2 x = 4


x = 24


x = 16



3)   log2 x = - 2


x = 2 -2 = 1 / 22 = 1 / 4


x = 0,25



Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:


Llamamos logaritmo decimal al logaritmo en base 10, y se designa:   log



1)   log x = 1


x = 101


x = 10



2)   log x = 2


x = 102


x = 100



3)   log x = - 4


x = 10 -4 = 1 / 104 = 1 / 10000


x = 0,0001



Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:


1)   log 10·x = - 5


10-5 = 10·x



x = 0,000001



2)   logx 0,001 = - 3



logx 10-3 = - 3


x-3 = 10-3


x = 10



3)   log3 (x + 5) =2

x + 5 = 32

x + 5 = 9

x = 4


Se resuelve la ecuación:

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:


1)   ln (x + 10) = 2


x + 10 = e2


x = e2 - 10



2)   log (x - 5) = 2


102 = x - 5


100 = x - 5


x = 105



3)   2·log x - log 4 = 0


2·log x = log 4


2·log x = log 22


2·log x = 2·log 2


log x = log 2


x = 2



Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:


1)   2·log x - log (x - 16) = 2


Usamos las propiedades de los logaritmos:


log x2 - log (x - 16) = 2


ec_logaritmica



Aplicando la definición de logaritmo tenemos que:


ec_2grado


ec_2grado



Quitando denominadores tenemos que:


x2 = 100(x - 16)


x2 = 100x - 1600


x2 - 100x + 1600 = 0



Resolvemos la ecuación de segundo grado:


ec_2grado



Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:


1)    2 log x3 = log 8 + 3 log x


      Logaritmo de una potencia:   log (x3)2 = log 8 + log x3

      Logaritmo del producto:   log x6 = log 8x3

      Igualamos argumentos:   x6 = 8x3


      Despejamos la incógnita x:


            x6 - 8x3 = 0    ⇒    x3(x3 - 8) = 0


           ec_logarit


La única solución válida es  x = 2 , ya que   log 0   no existe.


ec_logaritmica


Quitamos denominadores:


log (16 - x2) = 2·log (3x - 4)



Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia:


log (16 - x2) = log (3x - 4)2



Igualamos los logaritmos:


16 - x2 = (3x - 4)2


16 - x2 = 9x2 - 24x + 16


- 10x2 + 24x = 0


10x2 - 24x = 0


x(10x - 24) = 0



Por tanto tenemos que:


solucion_log



La única solución válida es  x = 12/5 , ya que   x=0 al sustituir en la ecuación da lugar a logaritmo de un número negativo que no existe.


Resuelve la siguiente ecuación logarítmica:


ec_logaritmica


ec_logaritmica



log 0,1 = -1   /   log 1 = 0   /   log 10 = 1   /   log 100 = 2   /   ...



ec_logaritmica


ec_logaritmica


ec_logaritmica


ecuacion


ecuacion


ecuacion



Quitando denominadores tenemos que:


3x + 10 = 16(2x - 3)


3x + 10 = 32x - 48


- 29x = - 58


x = 2