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Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

1)   Propiedades de las ecuaciones exponenciales:


1)   La función exponencial es siempre positiva:



          propiedad



2)   Si dos potencias de la misma base son iguales, los exponentes son iguales:



          propiedad



3)   Si   x   e   y   son números reales y   a   y   b   son números reales positivos, entonces se verifican las siguientes igualdades:



         exponenciales 



2)   Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:


1)   2x = 8


Ecuación:   2x = 8


Factorizando:   2x = 23


Igualando:   x = 3



2)   2x = 64


Ecuación:   2x = 64


Factorizando:   2x = 26


Igualando:   x = 6



3)   3x = 9


Ecuación:   3x = 9


Factorizando:   3x = 32


Igualando:   x = 2



4)   3x+1 = 81


Ecuación:   3x+1 = 81


Factorizando:   3x+1 = 34


Igualando:   x + 1 = 4


Resolviendo:  x = 3



5)   5x = 3125


Ecuación:   5x = 3125


Factorizando:   5x = 55


Igualando:   x = 5



6)   2x = 22


Ecuación:   log(2x) = log(22)


Despejando:   x·log(2) = log(22)


Resolviendo:   x = log(22) / log(2)


x = 4,46


3)   Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:


ec_exponencial




ec_exponencial


4)   Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:


ec_exponencial




ec_exponencial


5)   Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:


ec_exponencial




ec_exponencial


6)   Resolver la siguiente ecuación exponencial:


ec_exponencial


7)   Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:


ec_exponencial




ec_exponencial


8)   Resolver la siguiente ecuación exponencial:


ec_exponencial


9)   Resolver la siguiente ecuación exponencial:


ec_exponencial


10)   Resolver la siguiente ecuación exponencial:


ec_exponencial


11)   Resolver la siguiente ecuación exponencial:


ec_exponencial


12)   Podemos agrupar la resolución de ecuaciones exponenciales en tres casos:

A)   Ambos miembros se pueden poner como potencia de la misma base

1)   5x = 25

      El segundo miembro se puede expresar en la misma base que el primer miembro.

      5x = 52

      x = 2


2)   3x - 1 + 3x + 3x + 1 = 117

      Sacamos factor común:   3x (3- 1 + 1 + 3) = 117

      Simplificamos:

      Resolvemos:   3x = 27 = 33    ⇒    x = 3

 

B)   Se reduce a una ecuación de segundo grado

1)   52x - 30 · 5x + 125 = 0


      Operamos:   (5x)2 - 30 · 5x + 125 = 0


      Hacemos la sustitución  y = 5x :       y2 - 30 · y + 125 = 0


      Resolvemos la ecuación de segundo grado:


     Se deshace el cambio:   y = 5x = 5              ⇒     x = 1


                                        y = 5x = 25 = 52     ⇒    x = 2

 

C)  Cuando las ecuaciones exponenciales tienen distinta base, se pueden aplicar logaritmos

1)   3x = 8

      Aplicando la definición de logaritmo tenemos que:

      x = log38


      A continuación cambiamos a base decimal:



2)   7x - 1 - 2x + 5 = 0


      Despejamos uno de los sumandos:   7x - 1 = 2x + 5


      Aplicamos logaritmo a ambos miembros:   log (7x - 1) = log (2x + 5)


      Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia:   (x - 1)log 7 = (x + 5)log 2


      Operamos y despejamos la incógnita x:


                      x log 7 - log 7 = x log 2 + 5 log 2

                      x log 7 - x log 2 = 5 log 2 + log 7

                      x (log 7 - log 2) = 5 log 2 + log 7