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Ejercicios resueltos de intervalos y entornos. Operaciones con unión e intersección de intervalos.

Desigualdades e intervalos

Nombre Intervalo Desigualdad Conjunto solución Gráfica
Intervalo abierto (a , b) a < x < b { x  |  a < x < b}
Intervalo cerrado [a , b] a ≤ x ≤ b { x  |  a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto (a , b] a < x ≤ b { x  |  a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto [a , b) a ≤ x < b { x  |  a ≤ x < b}
Intervalo no acotado (a , ∞) a < x { x  |  a < x }
[a , ∞) a ≤ x { x  |  a ≤ x }
(-∞ , b) x < b { x  |  x < b }
(-∞ , b] x ≤ b { x  |  x ≤ b }
(-∞ , ∞) -∞ < x < ∞ { x  |  x ∈ R }

Expresa los siguientes conjuntos en forma de intervalo, y represéntalos gráficamente:

1)  A = {  x|  5<x1 }      A = ( 5 , 1 ]

intervalo1



2)   B = {  x|   x8 }      B = (   , 8 ]



3)   C = {  x|  2<x }      C = (  2  )



4)   D = {  x|   5 3   x <  1 2 }       D = [ 5 3  ,  1 2 )



5)   E = ( 3 , 11 )  {  9  }     E = ( 3 , 9 )  ( 9 , 11 )



6)   F = [ 5 , 5 )  {  2 , 4 }      F = [ 5 2 )  ( 2 , 4 )  ( 4 , 5 )



7)   G = [  2 , 3 ]  {  1 0 , 1 }      G = [ 2, 1 )  ( 1, 0 )                ( 0, 1 )  ( 1, 3 ]



8)   I =   ( 8 3 )      I = (   8 ] [ 3  )



9)   J =   [ 8 3 ]      J = (  8 )  ( 3  )



10)   K = [ 2  5 2 )  ( 0  1 2 ]      K = [ 2 0 ]  ( 1 2   5 2 )

Expresa los siguientes conjuntos en forma de intervalo, y represéntalos gráficamente:

1)   L = {  x|  | x | < 5 }       L = {  x|  5 < x < 5 } = ( 5 , 5 )



2)   M = {  x|  | x | < 3 }       M  =  

No hay ningún número real que en valor absoluto sea menor que -3

 

intervalo2



3)   N = {  x|  | x | > 4 }       N = {  x|  x<4 , x>4 } =             = (  4 )  ( 4  )



4)   O = {  x|  | x |  5 }       O = {  x|  5  x  5 } = [ 5 , 5 ]



5)   P = {  x|  | x3 | < 2 }       O = {  x|  2  x3  2 } =            = {  x|  1  x  5 } = [ 1 , 5 ]

Opera con los siguientes conjuntos: unión e intersección


Dados los conjuntos:                  A = {  x |   -8x<3  }                  B = {  x |   5x<7  }                  C = {  x |   0<x<6  } Calcula: a)   D = ( AB )C                c)   F = ABC b)   E = A( BC )                d)   G = ABC


   En primer lugar, expresamos los conjuntos     A, B y C en forma de intervalos:    A = {  x |   -8x<3  }= [ -8, 3 )    B = {  x |   5x<7  } = [ 5, 7 )    C = {  x |   0<x<6  } = ( 0, 6 ) a)   D = ( AB )C       AB = [ -8, 3 )  [ 5, 7 ) = [ -8, 7 )       ( AB )C = [ -8, 7 )  ( 0, 6 ) = ( 0, 6 )       Luego:                   D = ( 0, 6 ) = C b)   E = A( BC )       BC = [ 5, 7 )  ( 0, 6 ) = ( 0, 7 )       A( BC ) = [ -8, 3 )  ( 0, 7 ) = ( 0, 3 )       Luego:                   E = ( 0, 3 ) c)   F = ABC = ( AB )C       AB = [ -8, 3 )  [ 5, 7 ) = [ -8, 7 )       ( AB )C = [ -8, 7 )  ( 0, 6 ) = [ -8, 7 )        Luego:                      F = [ -8, 7 ) d)   G = ABC = A( BC )       BC = [ 5, 7 )  ( 0, 6 ) = [ 5, 6 )       A( BC ) = [ -8, 3 )  [ 5, 6 ) =         Luego:                      G = 

Define los siguientes entornos, y represéntalos gráficamente:

1)   A = E( -2 , 3 )         E(a, r) = ( a - r, a + r )        A = E( -2 , 8 ) = ( -2 - 3 , -2 + 3 ) = ( -5 , 1 )        A = {  x |    -5 < x < 1 }     También podríamos hacerlo:         E(a, r) = {  x /    | x-a | < r  }       A = {  x /  | x-( -2 ) | <3 } =          = {  x /   | x+2 | < 3 } =          = {  x |   -3 < x+2 <  3 } =          = {  x |    -5 < x <  1 }



2)   B = E * ( -5, 4 )      E * (a, r)  =  E( a, r ) - { a } = ( a - r, a )  ( a, a + r )       B = E * ( -5, 4 ) = E( 5, 4 ) - { 5 } =           = (  ( 5 ) - 45 )  ( 5, ( 5 ) + 4 ) =           = (  9, 5 )  ( 5, 1 )      B = {  x |    9<x<5, 5<x<1  }



3)    C = E + ( 4, 3 )                 E + (a, r) = ( a, a + r )         C = E + ( 4, 3 ) = ( 44+3 ) = ( 4 , 7 )        C = {  x |    4<x< 7 }



4)    D = E ( 0, 6 )                 E + (a, r) = ( a - r, a )        D = E ( 0, 6 ) = ( 06, 0 ) = ( 6 , 0 )       D = {  x |    4<x< 7 }



5)   F = E ( 0, 7 )       F = E( 0, 7 ) = ( 0 - 7 , 0 + 7 ) = ( -7 , 7 )        F = {  x |    -7 < x < 7 }     También podríamos hacerlo:      F = {  x /  |  0 | < 7 } =          = {  x /   | 0 | < 7 } =          = {  x |   -7 < x <  7 }

Expresa como entornos los siguientes intervalos:

1)   I = ( - 1 2 1 4 )    Calculamos el centro del entorno:    a =  ( - 1 2 ) +  1 4 2  =  1 4 2  = - 1 8     Hallamos el radio calculando la distancia     entre el centro y cualquier extremo del      intervalo:     r = |  ( - 1 8 ) -  1 4   | = | 3 8 | =  3 8     Por tanto:                        E( a, r ) = E( 1 8 3 8 ) 2)   I = ( -3, 5 )     a =  ( -3 ) + 5 2  =  2 2  = 1     r = |  1-5  | = | - 4 | = 4     Por tanto:                        E( a, r ) = E( 1, 4 ) 3)   I = ( -7, -3 )     a =  ( -7 ) + ( -3 ) 2  =  -10 2  = -5     r = | ( -5 ) - ( -7 ) | = | -5+7 | = | 2 | = 2     Por tanto:                        E( a, r ) = E( -5, 2 ) 4)   I = ( 1, -1 )     a =  1 + ( -1 ) 2  = 0     r = | 0 - 1 | = |  -1  | = 1     Por tanto:                        E( a, r ) = E( 0, 1 ) 5)   I = ( 0, 4 )     a =  0 + 4 2  =  4 2  = 2     r = | 2-0 | = | 2 | = 2     Por tanto:                        E( a, r ) = E( 2, 2 )