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Ejercicios resueltos de semejanza

1)   Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan.

triangulos semejantes


2-A )   Dos polígonos son semejantes con razón de semejanza 5. Si el perímetro del menor es 12 cm, halla el del mayor


2-B )   El perímetro de un polígono es de 25 cm y el de otro 10 cm. Si ambos son semejantes, calcula la razón de semejanza que transforma el mayor en el menor y viceversa


3-A )   Dos polígonos son semejantes con razón de semejanza 3. Si el área del menor 15 cm2, halla el área del mayor


3-B )   Las áreas de dos figuras semejantes son 80 cm2 y 20 cm2 respectivamente. Halla la razón de semejanza que transforma la mayor en la menor y la menor en la mayor


3-C )   Calcula la razón de semejanza de las áreas de los dos triángulos de la figura

triangulos semejantes


4-A )   El volumen de una pirámide es de 250 cm3. Si es semejante a otra menor con razón de semejanza 6, halla el volumen de la segunda


4-B )   Calcula la razón de semejanza de los dos volúmenes de la figura


cuerpos semejantes


4-C )   Los volúmenes de dos cuerpos semejantes son respectectivamente 5 cm3 y 625 cm3. Halla la razón de semejanza que transforma el menor en el mayor y la razón de semejanza que transforma el mayor en el menor


5)   Un lado de un triángulo mide 10,5 m y el lado correspondiente de otro triángulo semejante mide 3,5 m. Si el perímetro del primer triángulo mide 12 m y el área mide 6 m2

a) ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo semejante?
b) ¿Cuánto mide el área del triángulo semejante?


6)   Una arista de un ortoedro mide 1,5 m, y la arista correspondiente de otro ortoedro semejante mide 6 m. El área del primer ortoedro mide 60 m2 y el volumen 30 m3. Halla en el ortoedro semejante el área y el volumen


7)   Una esfera cuyo radio es r = x m tiene un área de 76,2 m2 y un volumen de 120,3 m3. Halla el área y el volumn de otra esfera cuyo radio es R = 2,5x


8-A )   ¿Qué escala es mayor, 1:500 o 1:50.000? ¿Cuál corresponde a un mapa y cuál a un plano?


8-B )   Un terreno tiene forma rectangular y mide 2 km de largo. Se dibuja un rectángulo semejante de 5 cm de longitud. Halla la escala y di si el objeto dibujado es un plano o un mapa


9-A )   Dibuja un rombo regular de 4,25 cm de lado. Dibuja otro semejante de razón de semejanza 1,5 y centro el centro del rombo


9-B )   Dibuja un pentágono regular de 7 cm de lado. Dibuja otro semejante de razón de semejanza 0,25 y centro el centro del pengátono


10)   Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles en el que un lado del rectángulo está en el lado desigual del triángulo. El lado desigual del triángulo mide 10 m y la altura correspondiente 15 m. Si la base del rectángulo mide 2 m, ¿cuánto mide de altura?


11-A )   Dado el siguiente dibujo, calcula la medida de la altura H del cono grande.

cono


11-B)   Calcula el volumen de un tronco de cono de 10 cm de altura, conociendo que los radios da las bases miden 3 y 8 cm.


11-C )    Tenemos un recipiente en forma de tronco de cono que tiene 4 cm de altura y los radios de sus bases son 3 y 7 cm. ¿Tiene mas de 1 litro de capacidad?


11-D )    Tenemos un recipiente en forma de tronco de pirámide hexagonal que tiene 24 cm de altura y sus bases hexagonales regulares de lado 6 y 12 cm y apotemas 5,2 y 10,4 cm. ¿Tiene mas de 1 litro de capacidad?


12-A )   En un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia conocemos su diámetro (D = 5 m) y la altura del triángulo (h = 4 m). Halla cuanto mide la base del triángulo.


12-B )   Se tiene un rectángulo inscrito en una circunferencia. Sabiendo que el diámetro de la circunferencia es de 6 metros y que la altura del rectángulo es h = 5 m, halla cuánto mide la base del rectángulo.


13)   Calcula el diámetro de la circunferencia de la figura.

teorema catetos


14)   Calcula la altura del abeto sabiendo que:

Longitud de la estaca = 1 m
Sombra de la estaca = 0,6 m
Sombra del abeto= 3 m


15)   Una torre proyecta una sombra de 60 metros. El mismo dia y a la misma hora y en el mismo lugar, un palo vertical de 3 metros proyecta una sombra de 4 metros. Calcula la altura de la torre.


16)   Calcula la profundidad del pozo.


17)   Calcula la anchura del río.


18)   Una persona cuya altura desde sus ojos al suelo es de 1,6 m, ve reflejada en un espejo en el suelo la parte más alta de un edificio. El espejo se encuentra a 2 m de sus pies y a 6 m del edificio. Halla la altura del edificio.

1)   Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan.



En primer lugar calculamos cuanto valen los ángulos que faltan:



Como los triángulos son semejantes, sus lados son proporcionales, es decir:


2A)   Dos polígonos son semejantes con razón de semejanza 5. Si el perímetro del menor es 12 cm, halla el del mayor


2B)   El perímetro de un polígono es de 25 cm y el de otro 10 cm. Si ambos son semejantes, calcula la razón de semejanza que transforma el mayor en el menor y viceversa


3A)   Dos polígonos son semejantes con razón de semejanza 3. Si el área del menor 15 cm2, halla el área del mayor


3B)   Las áreas de dos figuras semejantes son 80 cm2 y 20 cm2 respectivamente. Halla la razón de semejanza que transforma la mayor en la menor y la menor en la mayor


3C)   Calcula la razón de semejanza de las áreas de los dos triángulos de la figura



4A)   El volumen de una pirámide es de 250 cm3. Si es semejante a otra menor con razón de semejanza 6, halla el volumen de la segunda


4B)   Calcula la razón de semejanza de los dos volúmenes de la figura


4C)   Los volúmenes de dos cuerpos semejantes son respectectivamente 5 cm3 y 625 cm3. Halla la razón de semejanza que transforma el menor en el mayor y la razón de semejanza que transforma el mayor en el menor


5)   Un lado de un triángulo mide 10,5 m y el lado correspondiente de otro triángulo semejante mide 3,5 m. Si el perímetro del primer triángulo mide 12 m y el área mide 6 m2

a) ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo semejante?
b) ¿Cuánto mide el área del triángulo semejante?


Calculamos la razón de semejanza entre los dos lados:


6)   Una arista de un ortoedro mide 1,5 m, y la arista correspondiente de otro ortoedro semejante mide 6 m. El área del primer ortoedro mide 60 m2 y el volumen 30 m3. Halla en el ortoedro semejante el área y el volumen


Calculamos la razón de semejanza entre las dos aristas:


7)   Una esfera cuyo radio es r = x m tiene un área de 76,2 m2 y un volumen de 120,3 m3. Halla el área y el volumn de otra esfera cuyo radio es R = 2,5x


Calculamos la razón de semejanza entre las dos aristas:


8A)   ¿Qué escala es mayor, 1:500 o 1:50.000? ¿Cuál corresponde a un mapa y cuál a un plano?


1:500 = 0,002

1:50000 = 0,00002


Por lo tanto, la primera escala es mayor.


La primera escala, al ser mayor, corresponde a un plano.

La segunda escala, al ser menor, corresponde a un mapa.

8B)   Un terreno tiene forma rectangular y mide 2 km de largo. Se dibuja un rectángulo semejante de 5 cm de longitud. Halla la escala y di si el objeto dibujado es un plano o un mapa


5 cm : 2 km = 5:200000 = 1:40000

Por lo tanto el dibujo corresponde a un mapa


8C)   Calcula el perímetro y el área reales del siguiente solar, sabiendo que está hecho a escala 1:200.




Calculamos el perímetro del estudio:



Para calcular el área dividimos el estudio en dos partes:



 


9A)   Dibuja un rombo regular de 4,25 cm de lado. Dibuja otro semejante de razón de semejanza 1,5 y centro el centro del rombo




9B)   Dibuja un pentágono regular de 7 cm de lado. Dibuja otro semejante de razón de semejanza 0,25 y centro el centro del pengátono





10)   Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles en el que un lado del rectángulo está en el lado desigual del triángulo. El lado desigual del triángulo mide 10 m y la altura correspondiente 15 m. Si la base del rectángulo mide 2 m, ¿cuánto mide de altura?




Los triángulos ABC y A'B'C están en posición de Tales, por lo tanto son semejantes:


11A)   Dado el siguiente dibujo, calcula la medida de la altura H del cono grande




Ambos conos son semejantes, por lo tanto:





11B)   Calcula el volumen de un tronco de cono de 10 cm de altura, conociendo que los radios da las bases miden 3 y 8 cm.



11C)    Tenemos un recipiente en forma de tronco de cono que tiene 4 cm de altura y los radios de sus bases son 3 y 7 cm ¿Tiene mas de 1 litro de capacidad?


11D)    Tenemos un recipiente en forma de tronco de pirámide hexagonal que tiene 24 cm de altura y sus bases hexagonales regulares de lado 6 y 12 cm y apotemas 5,2 y 10,4 cm. ¿Tiene mas de 1 litro de capacidad?


12A)   En un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia conocemos su diámetro (D = 5 m) y la altura del triángulo (h = 4 m). Halla cuanto mide la base del triángulo.


El triángulo ABC es rectángulo en A porque un lado es un diámetro y el lado opuesto está inscrito en la circunferencia.


Aplicando el teorema de la altura tenemos que:


12B)   Se tiene un rectángulo inscrito en una circunferencia. Sabiendo que el diámetro de la circunferencia es de 6 metros y que la altura del rectángulo es h = 5 m, halla cuánto mide la base del rectángulo.


El triángulo ABC es rectángulo en A porque un lado es un diámetro y el lado opuesto está inscrito en la circunferencia. Aplicando el teorema de la altura tenemos que:


13)   Calcula el diámetro de la circunferencia de la figura.


Los dos triángulos definidos en la imagen son semejantes, por lo tanto:



A continuación aplicamos el teorema de la altura:

14)   Calcula la altura del abeto sabiendo que:

Longitud de la estaca = 1 m
Sombra de la estaca = 0,6 m
Sombra del abeto= 3 m


Los triángulos que forman el abeto y la estaca con sus respectivas sombras son semejantes, por lo tanto:


15)   Una torre proyecta una sombra de 60 metros. El mismo dia y a la misma hora y en el mismo lugar, un palo vertical de 3 metros proyecta una sombra de 4 metros. Calcula la altura de la torre.



Los triángulos que forman la torre y el palo vertical con sus respectivas sombras son semejantes, por lo tanto::


16)   Calcula la profundidad del pozo.




Los dos triángulos definidos en la imagen son semejantes, por lo tanto:



 

 

17)   Calcula la anchura del río.




Los dos triángulos definidos en la imagen son semejantes, por lo tanto:



 

 

18)   Una persona cuya altura desde sus ojos al suelo es de 1,6 m, ve reflejada en un espejo en el suelo la parte más alta de un edificio. El espejo se encuentra a 2 m de sus pies y a 6 m del edificio. Halla la altura del edificio.




Los dos triángulos definidos en la imagen son semejantes, por lo tanto sus lados son proporcionales::