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Ejercicios resueltos de elipses

1 )   Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipses:

2 )   Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipes:


3 )   Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipes:


4 )   Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:

a)   Sus focos son   F'(-3, 0) y F(3, 0)   y dos de sus vértices son   (-4, 0) y (4, 0)
b)   Pasa por los puntos   (3, 0) y (2, 1/5)

5 )   Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:

a)   F'(-4, 0) y F(4, 0)   y longitud del eje menor 6
b)   F'(0, -2) y F(0, 2)   y cuya excentricidad es igual a 0,4
c)   El eje mayor sobre el eje X es 12 y pasa por el punto (4, 4)
d)   El eje mayor sobre el eje Y es 4 y su excentricidad es 1/6

6 )   Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a  R(-4, 0) y S(4, 0)   es igual a 10 .

7 )   Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos   R(0, -3) y S(0, 3)   es igual a 10 .

8 )   Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto   P(10, -4)   y que su eje mayor es igual al doble del menor.

9 )   Hallar la ecuación de la tangente y de la normal de la elipse 2x2+y2=3 en el punto A(-1,1).

10 )   Dada la siguiente elipse   4x2 + 5y2 = 20     hallar las rectas tangente y normal en el punto de ordenada    y= - 1   y abscisa positiva.

11 )   Halla las tangentes a la siguiente elipse desde el punto P(5, 0) :

1 )   Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipses:



(a)



(b)



2 )   Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipes:




(a)



(b)


3 )   Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipes:




(a)



(b)


4 )   Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:

a)   Sus focos son   F'(-3, 0) y F(3, 0)   y dos de sus vértices son   (-4, 0) y (4, 0)
b)   Pasa por los puntos   (3, 0) y (2, 1/5)


(a)



(b)

5 )   Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:

a)   F'(-4, 0) y F(4, 0)   y longitud del eje menor 6
b)   F'(0, -2) y F(0, 2)   y cuya excentricidad es igual a 0,4
c)   El eje mayor sobre el eje X es 12 y pasa por el punto (4, 4)
d)   El eje mayor sobre el eje Y es 4 y su excentricidad es 1/6


(a)



(b)


(c)


(d)

6 )   Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a  R(-4, 0) y S(4, 0)   es igual a 10 .




Otro método:


7 )   Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos   R(0, -3) y S(0, 3)   es igual a 10 .



Otro método:


8 )   Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto   P(10, -4)   y que su eje mayor es igual al doble del menor.


9 )   Hallar la ecuación de la tangente y de la normal de la elipse 2x2+y2=3 en el punto A(-1,1).


El punto A es de la elipse. Como la recta tangente buscada pasa por A(-1,1), su ecuación será de la forma y-1=m(x+1). Para que dicha recta sea tangente a la elipse, el sistema

Despejando el valor de y en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, resulta:

Desarrollando y simplificando se obtiene:

10 )   Dada la siguiente elipse   4x2 + 5y2 = 20     hallar las rectas tangente y normal en el punto de ordenada    y= - 1   y abscisa positiva.


11 )   Halla las tangentes a la siguiente elipse desde el punto P(5, 0) :


Tenemos que resolver el siguiente sistema: