Funciones racionales. Hipérbolas de ecuación

Ejemplo 1 :

Estudiemos la función :

Determinamos en primer lugar las asíntotas. Para ello, calculamos en primer lugar la división ( x - 3 ) : ( x + 1 ) :

Podemos expresar la función original de la siguiente forma :

En primer lugar estudiamos las asíntotas de la función.

El punto x = - 1 no pertenece al dominio de la función. Estudiamos ahora la tendencia de la función por cada uno de los lados del punto x = - 1.

x	- 1,1	- 1,01	- 1,001	- 1,0001	- 1,00001	- 1,000001
y	41	401	4001	40001	400001	4000001

x	- 0,9	- 0,99	- 0,999	- 0,9999	- 0,99999	- 0,999999
y	- 39	- 399	- 3999	- 39999	- 399999	- 3999999

Cuando x → - 1 ⁺ , entonces f ( x ) → - ∞

Cuando x → - 1 ^- , entonces f ( x ) → + ∞

Por tanto, la función tiene una asíntota vertical en x = - 1.

Estudiamos ahora si la función tiene o no asíntota horizontal.

x	1	10	100	1000	10000	100000
y	- 1	0,6363	0,9604	0,9960	0,9996	0,9999

x	- 1	- 10	- 100	- 1000	- 10000	- 100000
y		1,4444	1,0404	1,0040	1,004	1,00004

Cuando x → + ∞ , entonces f ( x ) → 1

Cuando x → - ∞ , entonces f ( x ) → 1

La función tiene una asíntota horizontal en y = 1

Estudiamos ahora el domino de la función. Al ser una función racional, pertenecen al dominio todos los números reales a excepción de aquellos que anulan al denominador.

x + 1 = 0    →    x = - 1    →    Dom f(x) = R - {-1}

La función es continua en los siguientes intervalos :    ( - ∞ , - 1 )  y  ( - 1, + ∞ )

Una vez determinada sus asíntotas y su dominio, construimos una tabla de valores y la representamos gráficamente.

x	- 5	- 3	- 2	0	1	3
y	2	3	5	- 3	- 1	0

Ejmplo 2 :

Estudiamos ahora la función :

Determinamos en primer lugar las asíntotas. Para ello, calculamos en primer lugar la división ( 2x - 5 ) : ( x - 2 ) :

Podemos expresar la función original de la siguiente forma :

En primer lugar estudiamos las asíntotas de la función.

El punto x = 2 no pertenece al dominio de la función. Estudiamos ahora la tendencia de la función por cada uno de los lados del punto x = 2.

x	2,1	2,01	2,001	2,0001	2,00001	2,000001
y	- 8	- 98	- 998	- 9998	- 99998	- 999998

x	1,9	1,99	1,999	1,9999	1,99999	1,999999
y	12	102	1002	10002	100002	1000002

Cuando x → 2 ⁺ , entonces f ( x ) → - ∞

Cuando x →2 ^- , entonces f ( x ) → + ∞

Por tanto, la función tiene una asíntota vertical en x = 2.

Estudiamos ahora si la función tiene o no asíntota horizontal.

x	1	10	100	1000	10000	100000
y	3	1,875	1,9897	1,9989	1,9998	1,9999

x	- 1	- 10	- 100	- 1000	- 10000	- 100000
y	2,3333	2,0833	2,0098	2,0009	2,00009	2,0000009

Cuando x → + ∞ , entonces f ( x ) →2

Cuando x → - ∞ , entonces f ( x ) → 2

La función tiene una asíntota horizontal en y = 2

Estudiamos ahora el domino de la función. Al ser una función racional, pertenecen al dominio todos los números reales a excepción de aquellos que anulan al denominador.

x - 2 = 0    →    x = 2    →    Dom f(x) = R - {2}

La función es continua en los siguientes intervalos :    ( - ∞ , 2 )  y  ( 2, + ∞ )

Una vez determinada sus asíntotas y su dominio, construimos una tabla de valores y la representamos gráficamente.

x	- 2	0	1	2,5	3	4
y	2,25	2,5	3	0	1	1,5