Sistemas de inecuaciones no lineales con una incógnita

Los sistemas de inecuaciones no lineales con una incógnita son de la forma:

El signo < puede ser sustituido por > , ≤ o ≥ .

Ejemplo de sistema de inecuaciones no lineales con una incógnita

Factorizamos la primera inecuación hallando las raíces de la ecuación de segundo grado asociada:

x² = 4 ⇒ ±x = √4 ⇒ x = 2 x = -2

x² < 4 ⇒ x² - 4 < 0 ⇒ (x - 2)(x + 2) < 0

Estudiamos el signo que toma la inecuación en cada uno de los intervalos:

(-∞ -2) , (-2 , 2) , (2 , ∞)

Para ver el signo en cada intervalo sustituimos por un valor cualquiera de dicho intervalo.

En el intervalo (-∞ , -2): x = -3 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (-3 - 2)(-3 + 2) = 5 > 0

En el intervalo (-2 , 2): x = 0 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (0 - 2)(0 + 2) = -4 < 0

En el intervalo (2 , ∞): x = 3 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (3 - 2)(3 + 2) = 5 > 0

(-∞ , -2)	(-2 , 2)	(2 , ∞)
+	-	+

Buscamos los valores de x tales que (x - 2)(x + 2) < 0 , por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuación es:

A = (-2 , 2)

La segunda inecuación el lineal, así que hallamos su conjunto de soluciones despejando la incógnita x:

x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1

Por tanto, su conjunto de soluciones está formado por aquellos valores reales x mayores o iguales que 1:

B = { x ∈ R | x ≥ 1 } = [1 , ∞ )

Las soluciones del sistema de inecuaciones vendrá dada por la intersección de los conjuntos A y B:

S = A ∩ B = (-2 , 2) ∩ [1 , ∞) = [1 , 2)

También podríamos haber encontrado el conjunto de las soluciones de la primera inecuación de la siguiente forma:

Hallamos el conjunto de soluciones de la primera inecuación:

x² < 4 ⇒ |x| < √4 ⇒ |x| < 2

Por tanto, su solución está formada por todos los números reales x que pertenecen al conjunto:

A = { x ∈ R | -2 < x < 2 } = (-2 , 2)