Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Los sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma:

El signo < puede ser sustituido por > , ≤ o ≥ .

Un punto (x₀ , y₀) será solución del sistema si lo es de cada una de las inecuaciones.

Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema estará formado por aquellos puntos (x , y) tales que verifiquen ambas inecuaciones.

Ejemplo de sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas

El conjunto de soluciones viene dado por la región del plano común a las regiones solución de cada una de las inecuaciones. Para hallarlo hacemos lo siguiente:

Hallamos el conjunto de soluciones de la primera inecuación: x + 2y - 4 < 0

1. Representamos gráficamente la ecuación lineal asociada a la inecuación:

x + 2y - 4 = 0 ⇒ 2y = 4 - x ⇒ y = 2 - x/2 ⇒ y = - x/2 + 2

Si x = 0 ⇒ y = 0 + 2 = 2 ⇒ tenemos el punto de la recta: (0 , 2)

Si y = 0 ⇒ 0= -1/2 x + 2 ⇒ x/2 = 2 ⇒ x = 4 ⇒ tenemos el punto de la recta: (4 , 0)

tabla_de_valores

grafica_recta1

2. Discutimos cuál de los semiplanos es solución.

Probamos con puntos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la inecuación:

Por tanto la solución de la primera inecuación es el semiplano de la izquierda.

3. Inclusión o no de la recta o frontera en la solución:

En este caso, no se incluye la recta, ya que sólo es < y no =.

grafica_plano

Hallamos el conjunto de soluciones de la segunda inecuación: 2x - y + 6 ≥ 0

1. Representamos gráficamente la ecuación lineal asociada a la inecuación:

2x - y + 6 = 0 ⇒ - y = - 2x - 6 ⇒ y = 2x + 6

Si x = 0 ⇒ y = 6 ⇒ tenemos el punto de la recta: (0 , 6)

Si y = 0 ⇒ 0 = 2x + 6 ⇒ - 6 = 2x ⇒ x = - 3 ⇒ tenemos el punto de la recta: (- 3 , 0)

tabla_de_valores

2. Discutimos cuál de los semiplanos es solución.

Probamos con puntos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la inecuación:

(0 , 0) , 2x - y + 6 ≥ 0 ⇒ 6 > 0

Por tanto la solución de la segunda inecuación es el semiplano de la derecha.

3. Inclusión o no de la recta o frontera en la solución:

En este caso, se incluye la recta ya que el signo es ≥, es decir, incluye los valores que verifican la igualdad.

sistema_plano2

La solución del sistema es la porción del plano común a los semiplanos indicados, es decir, es la intersección de los semiplanos encontrados.

sist_intersec