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Límites de una función en el infinito

Límites finitos en el infinito. Asíntota horizontal.

El límite de una función   f(x)   cuando   x   tiende a   + ∞ ,  es un número real   L   cuando para valores muy grandes de   x   los valores de la función se aproximan al número   L .

De manera más precisa, diremos que la función   f(x)   tiene por límite   L   cuando   x → +∞   y lo representamos por:

definicion limite

si dado un   ε > 0   existe un   h   tal que si   x > h   entonces   | f(x) - L | < ε .



límite en el infinito


La función   f   tiene una asíntota horizontal en  y = L .


Ejemplo de asíntota horizontal

asíntota horizontal

función


asíntota horizontal

Límites infinitos en el infinito

Cuando no existe ningún número real   L   que verifique la condición anterior, puede suceder que   f(x) → +∞   o ninguna de estas cosas.

Así, diremos que   f(x) → +∞ ,  y se escribe de la siguiente manera:

definicion limite

si dado un un número arbitrario   K   podemos encontrar otro número   h   tal que si   x > h   ⇒   f(x) > K .



límite en le infinito


De manera similar podemos definir los siguientes límites:

definicion limite infinito

Si dado un número arbitrario   K   podemos encontrar otro número   h   tal que si   x > h   ⇒   f(x) < K .

límite en el infinito


definicion limite infinito

Si dado un número arbitrario   K   podemos encontrar otro número   h   tal que si   x < h   ⇒   f(x) > K .


definicion limite infinito

Si dado un número arbitrario   K   podemos encontrar otro número   h   tal que si   x < h   ⇒   f(x) < K .


Ejemplos de límites ínfinitos en el infinito

límite parábola

Si x toma valores muy grandes, la función f(x) toma valores tan grandes como queramos.

límite en el infinito

Si x toma valores muy pequeños, la función f(x) toma valores tan grandes como queramos.

límite en menos infinito

límite cúbica

Si x toma valores muy grandes, la función f(x) toma valores tan pequeños como queramos.

límite en el infinito

Si x toma valores muy pequeños, la función f(x) toma valores tan grandes como queramos.

límite en menos infinito

límite seno

Aunque x tome valores grandes o muy pequeños, la función f(x) no tiende a ningún valor en concreto, ni crece ni disminuye indefinidamente.


no existe el límite


izquierda
         arriba
derecha