Definición de límite de una función en un punto
La definición de límite de una función en un punto es la siguiente:

Se lee: "El límite de la función f(x) cuando x tiende a a es igual a L" .
Es equivalente a decir que para todo número épsilon (ε) mayor que cero, existe un número delta (δ), también mayor que 0, tal que para todo valor de x que cumpla que su diferencia con a, en valor absoluto, sea mayor que 0 y menor que delta, se cumple que la diferencia entre f(x) y L, también en valor absoluto, es menor que el número épsilon elegido.
También se puede concretar la definición anterior:
Una función f(x) tiende hacia L en un punto a cuando para todo entorno de L de radio ε , E(L, ε) = (L - ε, L + ε) , hay un entorno de a de radio δ , E(a, δ) = (a - δ, a + δ) tal que para cualquier x de E(a, δ) su imagen f(x) está en E(L, ε) .
Ejemplo de calculo de límite aplicando la definición:
Es decir, dado ε > 0 , hay que ver que |f(x) - L| < ε siempre que |x - a| < δ .
En nuestro caso |(2x + 3) - 5| < ε siempre que |x - 1| < δ .
Como |(2x + 3) - 5| < ε ⇔ |2x - 2| < ε ⇒ - ε < 2x - 2 < ε
Tenemos por lo tanto que: - ε + 2 < 2x < ε + 2
Transformando la desigualdad llegamos a:
Por lo tanto, hemos demostrado que:
Por ejemplo, si tomamos ε = 0,002, habrá que tomar valores de x que se distancien de 1 menos de δ = 0,002 / 2 = 0,001 . Es decir, valores de x tales que: 0,999 < x < 1,001