INICIOFunción mantisa o parte decimal de x: Dec(x)
Se define la función parte decimal de x , o función mantisa, como la que asigna a cada número real x su parte decimal.
Dec(x) = x - Ent(x)
Monotonía:
La función parte decimal es creciente en todo su dominio.
Máximos y mínimos:
La función tiene mínimos absolutos en todos los puntos de abscisa entera.
La función no tiene ni máximos absolutos ni relativos.
Periodicidad:
La función tiene periodo 1 ya que f(x + 1) = f(x)
Acotación:
La función está acotada superior e inferiormente.
La cota superior es 1 o cualquier número superior a 1.
La menor de todas las cotas superiores recibe el nombre de extremo superior o supremo, que en este caso es 1.
La cota inferior es 0 o cualquier número inferior a 0.
La mayor de todas las cotas inferiores recibe el nombre de extremo inferior o infimo, que en este caso es 0. Además es mínimo porque pertenece a la imagen de la función.
f (- 3) = Dec(- 3) = - 3 - Ent(- 3) = - 3 - (- 3) = 0
f (- 2,9) = Dec(- 2,9) = - 2,9 - Ent(- 2,9) = - 2,9 - (- 3) = 0,1
f (- 2,1) = Dec(- 2,1) = - 2,1 - Ent(- 2,1) = - 2,1 - (- 3) = 0,9
f (- 0,2) = Dec(- 0,2) = - 0,2 - Ent(- 0,2) = - 0,2 - (- 1) = 0,8
f (0,2) = Dec(0,2) = 0,2 - Ent(0,2) = 0,2 - 0 = 0,2
f (1,2) = Dec(1,2) = 1,2 - Ent(1,2) = 1,2 - 1 = 0,2
f (8,2) = Dec(8,2) = 8,2 - Ent(8,2) = 8,2 - 8 = 0,2
"Función distancia de x al entero más próximo"
La función distancia de x al entero más próximo se define como:
y = 0,5 - | Dec(x) - 0,5 |
y = d(x, Z)
La función es periodica de periodo 1, se cumple que f(x + 1) = f(x) para todo valor de x . Por lo tanto, basta con estudiarla en el intervalo [0, 1) .
La gráfica de la función en todo R es la siguiente:
f (-2) = 0,5 - |Dec(-2) - 0,5| = 0,5 - |-2 - Ent(-2) - 0,5| = 0,5 - |-2 - (-2) - 0,5| = 0,5 - |-0,5| = 0,5 - 0,5 = 0
f (-1,9) = 0,5 - |Dec(-1,9) - 0,5| = 0,5 - |-1,9 - Ent(-1,9) - 0,5| = 0,5 - |-1,9 - (-2) - 0,5| = 0,5 - |-0,4| = 0,5 - 0,4 = 0,1
f (-1,4) = 0,5 - |Dec(-1,4) - 0,5| = 0,5 - |-1,4 - Ent(-1,4) - 0,5| = 0,5 - |-1,4 - (-2) - 0,5| = 0,5 - |0,1| = 0,5 - 0,1 = 0,4
f (-0,3) = 0,5 - |Dec(-0,3) - 0,5| = 0,5 - |-0,3 - Ent(-0,3) - 0,5| = 0,5 - |-0,3 - (-1) - 0,5| = 0,5 - |0,2| = 0,5 - 0,2 = 0,3
f (0,1) = 0,5 - |Dec(0,1) - 0,5| = 0,5 - |0,1 - Ent(0,1) - 0,5| = 0,5 - |0,1 - 0 - 0,5| = 0,5 - |-0,4| = 0,5 - 0,4 = 0,1
f (1,1) = 0,5 - |Dec(1,1) - 0,5| = 0,5 - |1,1 - Ent(1,1) - 0,5| = 0,5 - |1,1 - 1 - 0,5| = 0,5 - |-0,4| = 0,5 - 0,4 = 0,1
Otra forma de calcular los valores para dicha función es aplicar directamente la definición de la distancia al número entero más cercano:
f (-2) = 0,5 - |Dec(-2) - 0,5| = .......... = 0
f (-1,9) = 0,5 - |Dec(-1,9) - 0,5| = .... = 0,1
f (-1,4) = 0,5 - |Dec(-1,4) - 0,5| = .... = 0,4
f (-0,3) = 0,5 - |Dec(-0,3) - 0,5| = .... = 0,3
f (0,1) = 0,5 - |Dec(0,1) - 0,5| = ....... = 0,1
f (1,1) = 0,5 - |Dec(1,1) - 0,5| = ....... = 0,1
⇒ d(-2, Z) = d(-2, -2) = 0
⇒ d(-1,9, Z) = d(-1,9, -2) = 0,1
⇒ d(-1,4, Z) = d(-1,4, -1) = 0,4
⇒ d(-0,3, Z) = d(-0,3, 0) = 0,3
⇒ d(0,1, Z) = d(0,1, 0) = 0,1
⇒ d(1,1, Z) = d(1,1, 1) = 0,1
