Ejercicios de funciones a trozos I
Representa y describe las características de las siguientes funciones:
1) Dominio: Dom(f) = R
2) Recorrido: Im(f) = R
3) Puntos de corte:
Puntos de corte del eje Y:
x = 0 ⇒ f(0) = 3·0 - 1 = - 1 ⇒ (0 , -1)
Puntos de corte con el eje X:
• Para x < 1 : y = 0 , y = 3x - 1 ⇒ 0 = 3x - 1 ⇒ x = 1/3 < 1 ⇒ (1/3 , 0)
• Para x ≥ 1 : y = 0 , y = x - 2 ⇒ 0 = x - 2 ⇒ x = 2 ≥ 1 ⇒ (2 , 0)
4) Continuidad:
(-∞ , 1) : la función es continua por ser una función lineal.
(1 , ∞) : la función es continua por ser una función lineal.
Veamos si f es continua en el punto x = 1 :
• f(x) = 3x - 1 : f(1) = 3·1 - 1 = 2
• f(x) = x - 2 : f(1) = 1 - 2 = - 1
Como no coinciden f no es continua en x = 1.
Por tanto, f es continua en: R - {1}
5) Monotonía:
• Si x < 1 f(x) = 3x - 1 : es una función lineal con pendiente positiva (m = 3), por tanto es creciente.
• Si x ≥ 1 f(x) = x - 2 : es una función lineal con pendiente positiva (m = 1), por tanto es creciente.
La función f es creciente en todo su dominio.
6) Asíntotas:
Ambas ramas de la función son lineales, por tanto, no tiene ninguna asíntota.
7) Periodicidad y simetría: no tiene periodicidad y simetría.
Representa y describe las características de las siguientes funciones:
1) Dominio: Dom(f) = R
2) Recorrido: Im(f) = R
3) Puntos de corte:
Puntos de corte del eje Y:
x = 0 ⇒ f(0) = 0 - 9 = - 9 ⇒ (0 , -9)
Puntos de corte con el eje X:
• Para x < 3 : y = 0 , y = x2 - 9 ⇒ 0 = x2 - 9 ⇒
⇒ x = ±√9 = ± 3 , sólo x = - 3 < 3 ⇒ (-3 , 0)
• Para x ≥ 3 : y = 0 , y = - x + 3 ⇒ x = 3 ≥ 3 ⇒ (3 , 0)
Para dibujar la gráfica, además de los puntos de corte con los ejes, vamos a necesitar el vértice de la parábola:
Si x = 0 , hemos visto que y = - 9.
El vértice de la parábola es: (0 , - 9)
4) Continuidad:
(-∞ , 3) : la función es continua por ser una parábola, es decir, una función polinómica de segundo grado.
(3 , ∞) : la función es continua por ser una función lineal.
Veamos si f es continua en el punto x = 3 :
• f(x) = x2 - 9 : f(3) = 32 - 9 = 0
• f(x) = - x + 3 : f(3) = - 3 + 3 = 0
Como sí coinciden, f es continua en x = 3.
Por tanto, f es continua en todo R .
5) Monotonía:
• Si x < 3 f(x) = x2 - 9 : es una parábola con coeficiente a = 1 positivo, por tanto, es decreciente hasta su vértice (situado en x = 0), y creciente en el resto de valores menores que 3.
• Si x ≥ 1 f(x) = x - 2 : es una función lineal con pendiente negativa (m = -1), por tanto es decreciente.
Por tanto, f es creciente en: (0 , 3)
Y es decreciente en: (-∞ , 0) ∪ (3 , ∞)
Es claro, que existe un mínimo relativo en el vértice de la parábola (0 , 3) .
6) Asíntotas:
Ambas ramas de la función son polinómicas, por tanto, no tiene ninguna asíntota.
Representa y describe las características de las siguientes funciones:
1) Dominio:
La primera rama es una raíz cúbica, luego su dominio es todo R .
La segunda rama es una función racional, por tanto, no estará bien definida en aquellos valores que anulan el denominador:
x - 2 = 0 ⇔ x = 2
Está bien definida en R - {2}
La tercera rama es una función lineal, luego su dominio es todo R .
Por tanto, la función f está bien definida en: Dom(f) = R - {2}
2) Recorrido: Im(f) = R - (0 , 5/2)
3) Puntos de corte:
Puntos de corte del eje Y:
Puntos de corte con el eje X:
• Para x < 0 : y = 0 , y = 3√x ⇒ 0 = 3√x ⇒ x = 0 ⇒ (0 , 0)
• Para 0 ≤ x ≤ 4 : y = 0 , y = 5/(x - 2) ⇒ 0 = 5/(x - 2) ⇒ 0 ≠ 5 , no corta al eje Y
• Para x ≥ 4 : y = 0 , y = x ⇒ 0 = x , pero 0 < 4 así que no corta al eje Y
4) Continuidad:
(-∞ , 0) : la función es continua por ser una raíz cúbica.
(0 , 4) : es una función racional que no está definida en x = 2.
(4 , ∞) : la función es continua por ser una función lineal.
Veamos si f es continua en el punto x = 0 :
• f(x) = 3√x : f(0) = 3√0 = 0
• f(x) = 5/(x - 2) : f(0) = 5/(0 - 2) = - 5/2
Como no coinciden, f no es continua en x = 0.
Veamos si f es continua en el punto x = 4 :
• f(x) =5/(x - 2) : f(4) =5/(4 - 2) = 5/2
• f(x) = x : f(4) = 4
Como no coinciden, f no es continua en x = 4.
Los únicos puntos en los que f no es continua son: x = 2 , x = 0 , x = 4
Por tanto, f es continua en : R - {0 , 2 , 4}
5) Monotonía:
• Si x < 0 f(x) = 3√x : es una raíz cúbica , por tanto es creciente en todo su dominio.
• Si 0 < x < 4 f(x) = 5/(x - 2) : es una función racional decreciente en (0 , 2) ∪ (2 , 4) .
• Si x ≥ 4 f(x) = x : es una función lineal con pendiente positiva (m = 1), por tanto es creciente.
En conclusión, f es creciente en: (∞ , 0) ∪ (4 , ∞)
Y es decreciente en: (0 , 2) ∪ (2 , 4)
6) Asíntotas:
Hemos visto al estudiar el dominio de la función que existe una asíntota vertical en x = 2 .
Representa y describe las características de las siguientes funciones:
1) Dominio: Dom(f) = R
2) Recorrido: Im(f) = (-∞ , 1]
3) Puntos de corte:
Puntos de corte del eje Y:
x = 0 ⇒ f(0) = e0 = 1 ⇒ (0 , 1)
Puntos de corte con el eje X:
• Para x ≤ 0 : y = 0 , y = ex ⇒ 0 ≠ ex , nunca es cero, así que no corta con el eje X.
• Para x > 0 : y = 0 , y = ln(x) ⇒ 0 ≠ ex , nunca es cero, así que no corta con el eje X.
4) Continuidad:
(-∞ , 0) : la función es continua por ser una función exponencial.
(0 , ∞) : la función es continua en este intervalo por ser el logarítmo neperiano de x.
Veamos si f es continua en el punto x = 0 :
• f(x) = ex : f(0) = e0 = 1
• f(x) = ln(x) : la función ln(x) no está definida en x = 0 .
Por tanto, la función f no puede ser continua en x = 0.
Por tanto, f es continua en: R - {0}
5) Monotonía:
• Si x ≤ 0 f(x) = ex : es creciente.
• Si x > 0 f(x) = ln(x) : es creciente.
La función f es creciente en todo su dominio.
6) Asíntotas:
La primera rama tiene una asíntota horizontal en y = 0.
La segunda rama de la función tiene una asíntota vertical en x = 0 .
Representa y describe las características de las siguientes funciones:
Antes de describir las características tenemos que estudiar en detalle la función f(x) = |x2 - 1| en el intervalo (-∞, -1).
Las raíces de la ecuación x2 - 1 = 0 son x = ± 1
Como la función |x2 - 1| está definida para x ≤ - 1 solo estudiamos el signo para el intervalo (-∞, -1) .
Para x = -3 tenemos que f(-3) = (-3)2 - 1 = 9 - 1 = 8 > 0
Por lo tanto, la función original queda definida de la siguiente manera:
1) Dominio: Dom(f) = R
2) Recorrido: Im(f) = [0, +∞)
3) Puntos de corte:
Puntos de corte del eje Y:
x = 0 ⇒ f(0) = 02 = 0 ⇒ (0 , 0)
Puntos de corte con el eje X:
• Para x ≤ - 1: x2 - 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ± 1
Corta al eje X en el punto (-1, 0)
• Para - 1 < x ≤ 1 : x2 = 0 ⇒ x = 0
Corta al eje X en el punto (0,0)
4) Continuidad:
(-∞ , -1) : la función es continua por ser una función polinómica.
(-1 , 1) : la función es continua por ser una función polinómica.
(1 , ∞) : la función es continua por ser una función polinómica.
Veamos si f es continua en el punto x = - 1 :
• f(x) = x2 - 1 : f(-1) = (-1)2 - 1 = 1 - 1 = 0
• f(x) = x2 : f(-1) = (-1)2 = 1
Por tanto, la función f no puede ser continua en x = - 1.
Veamos si f es continua en el punto x = 1 :
• f(x) = x2 : f(1) = 12 = 1
• f(x) = 2x + 1 : f(1) = 2 + 1 = 3
Por tanto, la función f no puede ser continua en x = 1.
Por tanto, f es continua en: R - {-1, 1}