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Ejercicios de funciones con valor absoluto

Expresa como una función a trozos y dibuja su gráfica:

1)   y = |x - 3|

2)   y = |x| - 2

          

4)   y = |x| + |x - 2|

5)   y = |x + 3| + |x - 3|

6)   y = |3x + 1| - |3 - x|

7)   y = |x2 - 4|

8)   y = | x2 + 2x - 15 |

9)   y = |- x2 + 6x - 8|

10)   y = |x|2 - 6|x| + 8

11)   y = x2 - | x |

12)   y = x2 + | x - 2|

13)   y = | x - 1 | + x2 + | x | + 1

14)   y = x |x|

15)   y = x|x - 4|

16)   y = |x| / x

Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |x - 3|


valor absoluto


Dom(f) = R


Im(f) = [0, +∞)


Puntos de corte:

•   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 3   ⇒   El punto de corte es   (0, 3)

•   Para que    f(x) = 0   ⇒   0 = x - 3   ⇒   x = 3   ⇒   El punto de corte es   (3, 0)


Monotonía:

•   La función es decreciente en el intervalo   (-∞, 3)   puesto que   y = - x + 3   tiene pendiente negativa   (m = - 1) .

•   La función es creciente en el intervalo   (3, +∞)   puesto que y = x - 3 tiene pendiente positiva (m = 1) .


Máximos y mínimos:

La función posee un mínimo absoluto en el punto   (3, 0)   ya que   f(x) ≥ 0   para cualquier valor de   x .


funcion a trozos


Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |x| - 2


funcion a trozos


Dom(f) = R


Im(f) = [-2, +∞)


Puntos de corte:

•   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = - 2   ⇒   El punto de corte con el eje Y es   (0, - 2)

•   Para que    f(x) = 0   ⇒   0 = |x| - 2   ⇒   |x| = 2   ⇒   x = ±2    ⇒   Corta al eje X en los puntos   (- 2, 0)   y   (2, 0)


Monotonía:

•   La función es decreciente en el intervalo   (-∞, 0)   puesto que   y = - x - 2   tiene pendiente negativa   (m = - 1) .

•   La función es creciente en el intervalo   (0, +∞)   puesto que y = x - 2   tiene pendiente positiva (m = 1) .


Máximos y mínimos:

La función posee un mínimo absoluto en el punto   (0, - 2)   ya que   f(x) ≥ - 2   para cualquier valor de   x .


funcion a trozos


La gráfica es el resultado de trasladar verticalmente hacia abajo dos unidades a la función   f(x) = |x|

Es decir,   y = f(x) - 2 = |x| - 2


función a trozos

gráfica con valor absoluto

Exprese la siguiente función como una función definida a trozos:   f(x) = |x| + |x - 2|

Estudiamos cada valor absoluto por separado:

funcion a trozos

funcion a trozos

A continuación, estudiamos la suma de los valores de   |x|   y   |x - 2|   en los tres intervalos que se generan:   (-∞ 0)  ,    (0, 2)    y    (2, +∞) .

          funcion a trozos

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

funcion a trozos


gráfica con valor absoluto

Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |x + 3| + |x - 3|

 


Estudiamos cada valor absoluto por separado:

funcion a trozos

funcion a trozos

A continuación, estudiamos la suma de los valores de   |x + 3|   y   |x - 3|   en los tres intervalos que se generan:   (-∞, -3)  ,    (-3, 3)    y    (3, +∞) .


          funcion a trozos

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

funcion a trozos


Dom(f) = R


Im(f) = [6 , +∞)  


Puntos de corte:

•   x = 0   ⇒   f(0) = 6   ⇒   No corta al eje Y

•   f(x) = 0   ⇒   - 2x = 0   ⇒   x = 0   ⇒   No corta al eje X puesto que   x = 0    no pertenece a dicho intervalo.

                  ⇒   6 ≠ 0   ⇒   No corta al eje X

                  ⇒   2x = 0   ⇒   x = 0   ⇒   No corta al eje X puesto que   x = 0    no pertenece a dicho intervalo.


Monotonía:

•   La función es decreciente en el intervalo   (-∞, -3)   puesto que   y = -2x   tiene pendiente negativa   (m = -2) .

•   La función no es creciente ni decreciente en el intervalo   (-3, 3)   puesto quees una función constante.

•   La función es creciente en el intervalo   (3, +∞)   puesto que y = 2x   tiene pendiente positiva (m = 2) .


funcion a trozos

Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |3x + 1| - |3 - x|


Estudiamos cada valor absoluto por separado:

funcion a trozos

funcion a trozos

A continuación, estudiamos la suma de los valores de   |3x + 1|   y   |3 - x|   en los tres intervalos que se generan:   (-∞, -1/3)  ,    (1/3, 3)    y    (3, +∞) .


          funcion a trozos

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

funcion a trozos

Dom(f) = R


Im(f) = [-10/3 , +∞)   puesto que   f(-1/3) = 2/3 - 4 = -10/3


Puntos de corte:

•   x = 0   ⇒   f(0) = - 2   ⇒   Corta al eje Y en el punto   (0 , -2)

•   f(x) = 0   ⇒   - 2x - 4 = 0   ⇒   x = - 2   ⇒   Corta el eje X en el punto   (-2, 0)

                  ⇒   4x - 2 = 0   ⇒   x = 1/2   ⇒   Corta al eje X en el punto   (1/2, 0)

                  ⇒   2x + 2 = 0   ⇒   x = - 1   ⇒   No corta al eje X puesto que   x = - 1 no pertenece a dicho intervalo.

Por lo tanto, los puntos de corte con el eje X son:    (-2, 0)   y   (1/2, 0).


Monotonía:

•   La función es decreciente en el intervalo   (-∞, -1/3)   puesto que   y = -2x - 4   tiene pendiente negativa   (m = -2) .

•   La función es creciente en el intervalo   (-1/3, 3)   puesto que y = 4x - 2   tiene pendiente positiva (m = 4) .

•   La función es creciente en el intervalo   (3, +∞)   puesto que y = 2x + 2   tiene pendiente positiva (m = 2) .


funcion a trozos

Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |x2 - 4|


valor absoluto


Resolvemos la inecuación:   x2 - 4 ≥ 0

x2 - 4 = 0   ⇔   x2 = 4   ⇔   x = √4   ⇔   x = ± 2


A continuación estudiamos el signo en:   A = (-∞, -2)      B = (-2, 2)      C = (2, +∞)


•   Intervalo A:   x = - 3   ⇒   x2 - 4 = (-3)2 - 4 = 9 - 4 > 0

•   Intervalo B:   x = 0   ⇒   x2 - 4 = (0)2 - 4 = - 4 < 0

•   Intervalo C:   x = 3   ⇒   x2 - 4 = (3)2 - 4 = 9 - 4 > 0


Por tanto, tendremos que  x2 - 4 ≥ 0  en los intervalos   A   y   C .

Y será  x2 - 4 < 0  únicamente en el intervalo  B .


La función queda por lo tanto de la siguiente manera:


funcion a trozos


Dom(f) = R


Im(f) = [0, +∞)


Puntos de corte:

•   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 4   ⇒   El punto de corte con el eje Y es   (0, 4)

•   Para que    f(x) = 0   ⇒   Corta al eje X en los puntos   (- 2, 0)   y   (2, 0)


Máximos y mínimos:

La función posee dos mínimos absolutos en los puntos   (- 2, 0)   y   (2, 0) .


funcion a trozos

Sea la función:     f(x) = | x2 + 2x - 15 |

a) Expresa   f(x)   como una función definida a trozos
b) Dibuja la gráfica de   f(x)


a)   Expresa la función   f(x)  como una función definida a trozos

funcion a trozos

Para definir la función, tenemos que resolver la siguiente ecuación:   x2 + 2x - 15 = 0

Las raíces de la ecuación son   x = 3   y   x = -5 ,  es decir, tenemos que estudiar como se comporta la función en los siguientes intervalos:   (-∞, -5)  ,   (-5, 3)   y   (3, +∞)

Intervalo (-∞, -5) (-5, 3) (3, +∞)
Punto de prueba f(-6) > 0 f(0) < 0 f(4) > 0
Signo de f (x) + - +

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

funcion a trozos


b)   Dibuja la gráfica de   f(x).

Las funciones que definen a   f  son polinómicas, por lo que son continuas en todo   R ,  y en particular, lo son en sus intervalos de definición.

A continuación vamos a calcular los puntos de corte:

•   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

punto corte funcion a trozos

Los puntos de corte son:   (-5, 0)   y   (3, 0)

•   Corte con el eje OY:   f(0)

punto corte funcion a trozos

El punto de corte es:   (0, 15)


Además, la función tiene un eje de simetría para   x = - b / 2a .   Es decir,    x = -1 .

Para   x = -1   tenemos que   f(-1) = 16 .   Por lo tanto el vértice es el punto  V (-1, 16) .


grafica funcion a trozos

Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |- x2 + 6x - 8|


valor absoluto


Resolvemos la inecuación:   - x2 + 6x - 8 ≥ 0

- x2 + 6x - 8 = 0


ecuacion 2 grado


A continuación estudiamos el signo en:   A = (-∞, 2)      B = (2, 4)      C = (4, +∞)


•   Intervalo A:   x = 0   ⇒   - x2 + 6x - 8 = - 8 < 0

•   Intervalo B:   x = 3   ⇒   - x2 + 6x - 8 = -(3)2 + 6·3 - 8 = 1 > 0

•   Intervalo C:   x = 5   ⇒   - x2 + 6x - 8 = -(5)2 + 6·5 - 8 = - 3 < 0


Por tanto, tendremos que  - x2 + 6x - 8 ≥ 0  en el intervalo B.

Y será  - x2 + 6x - 8 < 0  en los intervalos A y C .


La función queda por lo tanto de la siguiente manera:


funcion a trozos


Dom(f) = R


Im(f) = [0, +∞)


Puntos de corte:

•   x = 0   ⇒   f(0) = 8   ⇒   El punto de corte con el eje Y es   (0, 8)

•   f(x) = 0   ⇒   Corta al eje X en los puntos   (2, 0)   y   (4, 0)


Máximos y mínimos:

La función posee dos mínimos absolutos en los puntos   (2, 0)   y   (4, 0) .


funcion a trozos

Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |x|2 - 6|x| + 8


valor absoluto


Dom(f) = R


Im(f) = [0, +∞)


Puntos de corte:

•   x = 0   ⇒   f(0) = 8   ⇒   Corta al eje Y en el punto   (0, 8).

•   f(x) = 0   ⇒   x2 - 6x + 8 = 0   ⇒   Las soluciones son   -4   y  -2.

                     ⇒   x2 + 6x + 8 = 0   ⇒   Las soluciones son      4   y  2

Por lo tanto, los puntos de corte con el eje X son:   (-4, 0)   (-2, 0)   (2, 0)   y   (4, 0).


funcion a trozos


Si   f(x) = x2 - 6x + 8   ⇒   f(|x|)= |x|2 - 6|x| + 8

Sea la función:   f(x) = x2 - | x |


Vamos a expresarla como una función a trozos:

funcion a trozos

grafica funcion a trozos

Sea la función:   f(x) = x2 + | x - 2|


Definimos la función   f  por trozos:

funcion a trozos


grafica funcion a trozos

Sea la función:   f(x) = | x - 1 | + x2 + | x | + 1

a) Expresa   f(x)   como una función definida a trozos
b) Representa la función


a)   Expresa   f(x)   como una función definida a trozos

Al tratarse de una función definida como la suma de sumandos con valor absoluto, tenemos que estudiar los intervalos determinados por las soluciones de dichos sumandos:

funcion a trozos

Intervalo (-∞, 0) (0, 1) (1, +∞)
|x - 1| - x + 1 - x + 1 x - 1
x2 x2 x2 x2
|x| -x +x +x
+1 +1 +1 +1
|x - 1|+x2+|x|+1 x2 - 2x + 2 x2 + 2 x2 + 2x

Por lo tanto, nuestra función queda definida de la siguiente manera:

funcion a trozos


b)   Representa la función


grafica funcion a trozos

Representa la siguiente función con todas sus características:    y = x |x|


función a trozos


Dom(f) = R


Im(f) = R


Puntos de corte:

•   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 0   ⇒   El punto de corte es   (0, 0)

•   Para que    f(x) = 0   ⇒   0 = x|x|   ⇒   x = 0   ⇒   El punto de corte es   (0, 0)


Monotonía:

La función es creciente en todo su dominio, es decir, es creciente en todo R .


Máximos y mínimos:

Como es creciente en todo R , no tiene ni máximos ni mínimos.


Simetría:


f(-x) = - x |-x| = - x |x| = - (x|x|) = - f(x)


Tiene simetría impar.


valor absoluto


Funciones pares e impares con valor absoluto


Sea   f: R → R   la función definida por   f(x) = x|x - 4| .

Definimos la función   f  por trozos:

continuidad del valor absoluto

Hallamos los puntos de corte con los ejes:

•   Si   x = 0 :        y = f(0)     ⇒     y = 0     ⇒     (0 , 0)

•   Si   y = 0 :        - x2 + 4x = 0     ⇒     x(- x + 4) = 0     ⇒     x = 0   ó   x = 4     ⇒     (0 , 0)  ,  (4 , 0)

                            x2 - 4x = 0     ⇒     x(x - 4) = 0     ⇒     x = 0   ó   x = 4     ⇒     (0 , 0)  ,  (4 , 0)


Ambas ramas de  f  son funciones polinómicas de segundo grado, por lo que son parábolas. Para dibujarlas vamos a calcular sus respectivos vértices:

vértices parábolas


gráfica de parábolas

Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |x| / x


valor absoluto


Dom(f) = R - {0}


Im(f) = {-1, 1}


Puntos de corte:

•   La función no está definida en   x = 0   ⇒   No corta al eje Y.

•   f(x) ≠ 0   ⇒   No corta al eje X .


funcion signo

Sea la función:

          funcion a trozos

a) Expresa la función f como una función a trozos e indica el dominio de la función.

b) Representa la función.


a)   Expresa la función f como una función a trozos e indica el dominio de la función.


Antes de nada, definimos la función   f  por trozos:

funcion a trozos

Las funciones que definen a   f   son racionales, por lo que son continuas excepto en los puntos que se anula el denominador. Por tanto, la función   f   es continua en:    (-∞ , 2) ∪ (2 , ∞)

Dom (f) = R - {2}



d)   Representa la función


grafica funcion a trozos

Representa la siguiente función con todas sus características:

valor absoluto


valor absoluto


Dom(f) = R - {0}


Im(f) = (-∞, 0) ∪ (0, +∞)


Puntos de corte:

•   La función no está definida en   x = 0   ⇒   No corta al eje Y.

•   f(x) = 0   ⇒   x - 1 = 0   ⇒   x = 1   ⇒   Corta al eje X en el punto   (1, 0)


Monotonía:

•   La función es decreciente en el intervalo   (-∞, 0)   puesto que   y = - x + 1   tiene pendiente negativa   (m = - 1) .

•   La función es creciente en el intervalo   (0, +∞)   puesto que y = x - 1   tiene pendiente positiva (m = 1) .


funcion a trozos

Representa la siguiente función con todas sus características:

valor absoluto


valor absoluto


valor absoluto


Dom(f) = R - {0}


Im(f) = (-∞, -1) ∪ (1, +∞)


Puntos de corte:

•   La función no está definida en   x = 0   ⇒   No corta al eje Y.

•   f(x) = 0   ⇒  No está definido en el dominio.


Monotonía:

•   La función es creciente en el intervalo   (-∞, 0)   puesto que   y = 3x - 1   tiene pendiente positiva   (m = 3) .

•   La función es creciente en el intervalo   (0, +∞)   puesto que y = 3x + 1   tiene pendiente positiva (m = 3) .


funcion a trozos

Representa la siguiente función con todas sus características:

valor absoluto

valor absoluto


Para estudiar el signo tenemos que resolver las siguientes ecuaciones:


x - 2 = 0   ⇒   x = 2

x + 3 = 0   ⇒   x = - 3


A continuación estudiamos el signo en:   A = (-∞, -3)      B = (-3, 2)      C = (2, +∞)


•   Intervalo A:   x = - 4   ⇒  f(-4) = 6 > 0    

•   Intervalo B:   x = 0   ⇒  f(0) = - 2/3 < 0

•   Intervalo C:   x = 4   ⇒  f(4) = 2/5 > 0


funcion a trozos


Dom(f) = R - {3}


Im(f) = [0 , +∞)  


Puntos de corte:

•   x = 0   ⇒   f(0) = - 2/3   ⇒   Corta al eje Y en el punto   (0 , -2/3)

•   f(x) = 0   ⇒   x - 2 = 0   ⇒   x = 2   ⇒   Corta el eje X en el punto   (2, 0)


Asíntotas:

Posee una asíntota vertical en   x = - 3   (valor que anula al denominador)


funcion a trozos