Regla general para el cálculo de máximo, mínimo y punto de inflexión

En el cálculo de los máximos y mínimos de una función, si se anula la primera y la segunda derivada, no se sabe si hay máximo o mínimo, aunque si no se anula la tercera derivada, tenemos un punto de inflexión. Pero, ¿y si se anula la derivada tercera?

En este caso vamos a aplicar la regla general para el cálculo del máximo, mínimo y punto de inflexión.

Si en un punto x = a de una función f(x) se anulan las (n - 1) primeras derivadas y f(a) ≠ 0 , esta función tiene en este punto:

• Si n es par y f ⁽ⁿ⁾ (a) < 0 ⇒ Máximo .

• Si n es par y f ⁽ⁿ⁾ (a) > 0 ⇒ Mínimo .

• Si n es impar ⇒ Punto de inflexión.

Ejemplos de la regla general para el cálculo de máximos, mínimo y punto de inflexión

1) Comprueba que la función f(x) = x⁴ en x = 0 tiene un mínimo .

Hallamos la derivada primera: f ' (x) = 4x³ ⇒ f ' (0) = 0

Hallamos la derivada segunda: f '' (x) = 12x² ⇒ f '' (0) = 0

Hallamos la derivada tercera: f ''' (x) = 24x ⇒ f ''' (0) = 0

Hallamos la derivada cuarta: f ⁽⁴⁾ (x) = 24 > 0

Si n es par y f ⁽ⁿ⁾ (a) > 0 ⇒ Mínimo .

Por lo tanto el punto (0, 0) es un mínimo.

2) Comprueba que la función f(x) = - 2x⁶ en x = 0 tiene un mínimo, un máximo o un punto de inflexión .

Hallamos la derivada primera: f ' (x) = -12x⁵ ⇒ f ' (0) = 0

Hallamos la derivada segunda: f '' (x) = -60x⁴ ⇒ f '' (0) = 0

Hallamos la derivada tercera: f ''' (x) = -240x³ ⇒ f ''' (0) = 0

Hallamos la derivada cuarta: f ⁽⁴⁾ (x) = -720x² ⇒ f ⁽⁴⁾ = 0

Hallamos la derivada quinta: f ⁽⁵⁾ (x) = -1440x ⇒ f ⁽⁵⁾ = 0

Hallamos la derivada sexta: f ⁽⁶⁾ (x) = -1440 < 0

Si n es par y f ⁽ⁿ⁾ (a) < 0 ⇒ Máximo .

Por lo tanto el punto (0, 0) es un máximo.

3) Comprueba que la función f(x) = x⁵ en x = 0 tiene un mínimo, un máximo o un punto de inflexión .

Hallamos la derivada primera: f ' (x) = 5x⁴ ⇒ f ' (0) = 0

Hallamos la derivada segunda: f '' (x) = 20x³ ⇒ f '' (0) = 0

Hallamos la derivada tercera: f ''' (x) = 60x² ⇒ f ''' = 0

Hallamos la derivada cuarta: f ⁽⁴⁾ (x) = 120x ⇒ f ⁽⁴⁾ = 0

Hallamos la derivada quinta: f ⁽⁵⁾ (x) = 120 ≠ 0

Si n es impar ⇒ Punto de inflexión .

Por lo tanto el punto (0, 0) es un máximo.