INICIOEjercicios resueltos de clasificación de matrices
Clasificación de matrices
| Nombre de la matriz | Ejemplo |
|---|---|
| Matriz Fila: Es una matriz con una única fila. |
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| Matriz Columna: Es una matriz con una única columna. |
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| Matriz nula: Matriz con todos sus elementos nulos. |
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| Matriz rectangular: Matriz con distinto número de filas y columnas. |
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| Matriz traspuesta: Dada una matriz A es la matriz obtenida cambiando sus filas por sus columnas. La denotamos por At. |
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| Matriz Cuadrada: Matriz con tantas filas como columnas. |
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| Clasificación de matrices cuadradas | |
| Diagonal: Todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son todos nulos. |
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| Escalar: Es una matriz diagonal que tiene a todos los elementos de la diagonal principal iguales. |
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| Unidad: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. |
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| Triangular superior: Todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos. |
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| Triangular inferior: Todos los elementos sobre la diagonal principal son nulos. |
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| Inversible o regular: Matriz que tiene inversa. |
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| Singular: Matriz que no tiene inversa |
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| Simétrica: Matriz que coincide con su traspuesta A = At |
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| Antisimétrica o hemisimétrica: Es una matriz en la que se verifica que bij = - bji A = -At Por tanto su diagonal principal está formada por ceros. |
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| Ortogonal: Es una matriz que verifica A · At=I |
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| Nilpotente: Es una matriz que verifica An = O |
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| Periódica: Es una matriz que verifica que An+1 = A |
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| Idempotente: Es una matriz que verifica que A2 = A |
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| Involutiva: Es una matriz que verifica que A2 = I |
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1) Pon un ejemplo de matriz en los siguientes casos:
a) De dimensión 5x3
b) De dimensión 1x4
c) De dimensión 5x1
d) De orden 4
2) Escribe un ejemplo de las siguientes matrices:
a) Una matriz fila con 5 columnas
b) Una matriz columna con 3 filas
c) Una matriz cuadrada de orden 4
d) Una matriz rectangular de 3x4
3) Escribe las matrices que cumplen las siguientes condiciones:
a) Matriz diagonal de orden 3 que cumple que a22 = 4
b) Matriz identidad de cuatro columnas
c) Matriz identidad de orden 2
4) Escribe matrices que cumplan estas condiciones:
a) Diagonal de orden 3
b) Diagonal de orden 4
c) Triangular superior con 3 columnas
d) Triangular inferior con 4 filas
5) Escribe las matrices traspuestas de:
6) Sean las siguientes matrices:
Comprueba que se cumplen las siguientes propiedades:
a) (At)t = A
b) (3·A)t = 3·At
c) (A + B)t = At + Bt
d) (A·B)t = Bt·At
7) Sea la siguiente matriz:
a) Completa la matriz para que sea simétrica
b) Completa la matriz para que sea antisimétrica
8) Comprueba que la siguientes matriz es ortogonal:
9) ¿Para qué valores de a y b es ortogonal la siguiente matriz?
10) Descompon en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica las siguientes matrices:
11) Comprueba que la siguiente matriz es idempotente:
12) Dada la siguiente matriz:
¿Qué relación deben guardar las constantes a y b para que se verifique que A2 = A?
13) Halla las matrices simétricas de orden 2 tales que A2 = A.
14) Si A y B son dos matrices diagonales de orden 2 , demuestra que A·B = B·A y determina aquellas tales que:
15) Prueba que el proucto de dos matrices diagonales de orden 3 es una matriz diagonal.
1) Pon un ejemplo de matriz en los siguientes casos:
a) De dimensión 5x3
b) De dimensión 1x4
c) De dimensión 5x1
d) De orden 4
2) Escribe un ejemplo de las siguientes matrices:
a) Una matriz fila con 5 columnas
b) Una matriz columna con 3 filas
c) Una matriz cuadrada de orden 4
d) Una matriz rectangular de 3x4
3) Escribe las matrices que cumplen las siguientes condiciones:
a) Matriz diagonal de orden 3 que cumple que a22 = 4
b) Matriz identidad de cuatro columnas
c) Matriz identidad de orden 2
4) Escribe matrices que cumplan estas condiciones:
a) Diagonal de orden 3
b) Diagonal de orden 4
c) Triangular superior con 3 columnas
d) Triangular inferior con 4 filas
5) Escribe las matrices traspuestas de:
6) Sean las siguientes matrices:
Comprueba que se cumplen las siguientes propiedades:
a) (At)t = A
b) (3·A)t = 3·At
c) (A + B)t = At + Bt
d) (A·B)t = Bt·At
7) Sea la siguiente matriz:
a) Completa la matriz para que sea simétrica
b) Completa la matriz para que sea antisimétrica
8) Comprueba que la siguientes matriz es ortogonal:
9) ¿Para qué valores de a y b es ortogonal la siguiente matriz?
La matriz A es ortogonal si a = ±1 y para cualquiera que sea el valor de b.
10) Descompon en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica las siguientes matrices:
Toda matriz cuadrada A puede expresarse de la siguiente manera:
donde:
11) Comprueba que la siguiente matriz es idempotente:
Una matriz es idempotente cuando A2 = A
Por lo tanto la matriz es idempotente.
12) Dada la siguiente matriz:
¿Qué relación deben guardar las constantes a y b para que se verifique que A2 = A ?
Si A2 = A entonces:
Igualando resulta:
Por lo tanto hay dos soluciones:
Las matrices que cumplen que A2 = A se llaman matrices idempotentes.
13) Halla las matrices simétricas de orden 2 tales que A2 = A.
Si A2 = A entonces:
Igualando resulta:
• Si z = 1 - x
Sustituyendo el valor de z en la tercera ecuación se obtiene que:
Por lo tanto la matriz buscada es de una de las dos siguientes formas:
• Si y = 0
Sustituyendo el valor de y en la primera y tercera ecuación se obtiene que:
Por tanto, las matrices buscadas son las siguientes:
Si nos fijamos, las matrices A3 y A4 son un caso particular de las soluciones generales obtenidas para x = 1 y para x = 0.
Es decir, a las soluciones generales se deben añadir las soluciones correspondientes a la matriz nula y a la matriz identidad de orden 2.
14) Si A y B son dos matrices diagonales de orden 2 , demuestra que A·B = B·A y determina aquellas tales que:
Sean las siguientes matrices diagonales:
Si A es una matriz diagonal de orden 2x2 entonces:
Por tanto, las matrices que cumplen dicha condición son las siguientes:
15) Prueba que el proucto de dos matrices diagonales de orden 3 es una matriz diagonal.
Sean las siguientes matrices diagonales de orden 3:
Por lo tanto, el producto de dos matrices diagonales de orden 3 es otra matriz diagonal de orden 3.