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Ejercicios resueltos de la regla de Ruffini y del Teorema del resto

1)   Regla de Ruffini


1)   Mediante la regla de Ruffini efectua las siguientes divisiones:


a)   (x5 + x4 - x3 + x2 - 3x + 5) : (x - 1)



regla_ruffini_1



Cociente: x4 + 2x4 + x3 + 2x - 1


Resto: 4


b)   (3x5 + 2x + 4) : (x + 2)



regla_ruffini_2



Cociente: 3x4 - 6x3 + 12x2 -24x + 50


Resto: - 96


c)   (x4 - 5x2 + 2) : (5x - 10)



Para poder aplicar la regla de Ruffini, el polinomio divisor debe ser de la forma (x - a).


Por lo tanto, dividimos el divisor entre 5, quedando la división de la siguiente forma:


division


ruffini


El cociente obtenido se divide por  5:


cociente


Resto:    - 2


d)   (x3 + 2x2 - 5x + 2) : (2x + 3)



Para poder aplicar la regla de Ruffini, el polinomio divisor debe ser de la forma (x - a).


Por lo tanto, dividimos el divisor entre 2, quedando la división de la siguiente forma:


division


ruffini


El cociente obtenido se divide por  2:


cociente


resto


e)   (81x4 - 9x2 + 6x - 5) : (x - 1/3)



ruffini



Cociente: 81x3 + 27x2 + 6


Resto: - 3


f)   (6x3) : (x - 1)



regla_ruffini_6



Cociente: 6x2 + 6x + 6


Resto: 6

2)   Teorema del resto:


1)   Hallar el resto de las siguientes divisiones:


a) (x150 + 1) : (x + 1)


a) r = (-1)150 + 1 = 1 + 1 = 2



b) (x150 - 1) : (x + 1)


b) r = (-1)150 - 1 = 1 - 1 = 0



c) (x161 + 1) : (x - 1)


c) r = 1161 + 1 = 1 + 1 = 2



d) (x161 - 1) : (x - 1)


d) r = 1161 - 1 = 1 - 1 = 0


2)   Hallar el resto de las siguientes divisiones:


a) x3 - 4x2 + x - 2   por   x - 3.


a) r = P(3) = 33 - 4·32 + 3 - 2 = 27 - 36 + 3 - 2 = - 8



b) x4 - 2x3 - 3x2 + 5x + 10   por   x - 1.


b) r = P(1) = 14 - 2·13 - 3·12 + 5·1 + 10 = 1 - 2 - 3 + 5 + 10 = 11



c) x6 + 4x5 - 2x + 3   por   x + 2.


c) r = P(-2) = (-2)6 + 4·(-2)5 - 2·(-2) + 3 = 64 - 128 + 4 + 3 = - 57



d) x3 - 3x2 + 4   por   x - 3.


d) r = P(3) = 33 - 3·32 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4



3)   Teorema del resto


1)   Hallar   a   para que el polinomio   P(x) = x3 - x2 + 2x - a   sea divisible por   x + 2.


Dividimos aplicando la regla de Ruffini:


regla_ruffini_6


Para que   P(x)   sea divisible por   x + 7   el resto tiene que ser 0.


Es decir:   - a - 16 = 0


Por lo tanto:   a = -16


2)   Hallar el valor de   k   para que al dividir   P(x) = x4 - 2kx3 + x2 - 4kx + 9   por   x + 1   el resto sea   - 7.


Por el teorema del resto, se tiene que cumplir que:   P(-1) = - 7

P(-1) = (-1)4 - 2k(-1)3 + (-1)2 - 4k(-1) + 9 = - 7


Es decir:   1 + 2k + 1 + 4k + 9 = 11 + 6k = - 7


O lo que es lo mismo:   6k = - 18


Por lo tanto:   k = - 3


3)   Siendo   P(x) = x6 - 5x4 + 6x3 + ax2 + 4x + b,   hallar   a   y   b   sabiendo que es divisible por   x - 3   y por   x + 1.


Si un polinomio es divisible por   x - a   por el teorema del resto se tiene que cumplir que   P(a) = 0.


Es decir,   P(3) = 0   y   P(-1) = 0



P(3) = 36 - 5·34 + 6·33 + 9a + 12 + b = 0


Es decir,   729 - 405 + 162 + 9a + 12 + b = 0 ,   por lo tanto   9a + b = -498



P(-1) = (-1)6 -5·(-1)4 + 6(-1)3 + a(-1)2 - 4 + b = 0


Es decir,    1 - 5 - 6 + a - 4 + b = 0 ,   o lo que es lo mismo   a + b = 14



A continuación resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:


sistema_ecuaciones


Sustituyendo el valor de   a   en la ecuación   a + b = 14 ,   se obtiene que   b = 78

4)   Teorema del resto


1)    Hallar el valor de   m   para que el polinomio   x3 + (m - 4)x2 - 2x - (2m + 1)   sea divisible por   x + 1.


Para hallar el valor de   m   aplicamos la regla de Ruffini e igualamos el resto a 0.


regla_ruffini_7


Por lo tanto se debe cumplir que:   - m - 4 = 0


Es decir:   m = - 4



2)   Hallar un polinomio de tercer grado cuyo primer coeficiente sea la unidad, sabiendo que los restos que se obtienen al dividirlo por   x + 1 ,   x - 1   y   x + 2   son   -2 ,   0   y   - 15   respectivamente.


El polinomio que buscamos es de la forma:   x3 + ax2 + bx + c   donde se tiene que verificar que:


P(-1) = - 1 + a - b + c = - 2


P(1) = 1 + a + b + c = 0


P(-2) = - 8 + 4a - 2b + c = -15



Resolvemos por lo tanto el siguiente sistema de ecuaciones:



sistema_3_1



sistema_3_2



sistema_3_3



sistema_3_4



sistema_3_5


5)   Teorema del resto


1)   Determinar el polinomio   ax2 + bx + c   sabiendo que es divisible por   x + 2 ,   da restos iguales al dividirlo por   x + 1   y por   x + 3 ,   y que el término independiente es   4.


Como el término independiente es 4, buscamos un polinomio de la siguiente forma:   ax2 + bx + 4


A continuación aplicamos la regla de Ruffini, dividiendo nuestro polinomio por   x + 2   e igualando el resto a 0.



regla_ruffini_8



Por lo tanto obtenemos que:   4 - 2b + 4a = 0



Por otra parte, los restos de dividir el polinomio por   x + 1   y por   x + 3   son iguales.


Aplicamos la regla de Ruffini e igualamos los restos.



regla_ruffini_9



regla_ruffini_10



Por lo tanto obtenemos la siguiente igualdad:   4 - b + a = 4 - 3b + 9a


Es decir:   2b - 8a = 0



Para calcular los coeficientes   a   y   b   resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:


sistema_2


Por último, sustituyendo el valor de   a   en la ecuación   2b - 8a = 0   se obtiene que   b = 4.