Ejercicios resueltos de la regla de Ruffini y del Teorema del resto
- 1. Regla de Ruffini
- 2. Teorema del resto I
- 3. T. del resto II
- 4. T. del resto III
- 5. T. del resto IV
1) Regla de Ruffini
1) Mediante la regla de Ruffini efectua las siguientes divisiones:
a) (x5 + x4 - x3 + x2 - 3x + 5) : (x - 1)
Cociente: x4 + 2x4 + x3 + 2x - 1
Resto: 4
b) (3x5 + 2x + 4) : (x + 2)
Cociente: 3x4 - 6x3 + 12x2 -24x + 50
Resto: - 96
c) (x4 - 5x2 + 2) : (5x - 10)
Para poder aplicar la regla de Ruffini, el polinomio divisor debe ser de la forma (x - a).
Por lo tanto, dividimos el divisor entre 5, quedando la división de la siguiente forma:
El cociente obtenido se divide por 5:
Resto: - 2
d) (x3 + 2x2 - 5x + 2) : (2x + 3)
Para poder aplicar la regla de Ruffini, el polinomio divisor debe ser de la forma (x - a).
Por lo tanto, dividimos el divisor entre 2, quedando la división de la siguiente forma:
El cociente obtenido se divide por 2:
e) (81x4 - 9x2 + 6x - 5) : (x - 1/3)
Cociente: 81x3 + 27x2 + 6
Resto: - 3
f) (6x3) : (x - 1)
Cociente: 6x2 + 6x + 6
Resto: 6
2) Teorema del resto:
1) Hallar el resto de las siguientes divisiones:
a) (x150 + 1) : (x + 1)
a) r = (-1)150 + 1 = 1 + 1 = 2
b) (x150 - 1) : (x + 1)
b) r = (-1)150 - 1 = 1 - 1 = 0
c) (x161 + 1) : (x - 1)
c) r = 1161 + 1 = 1 + 1 = 2
d) (x161 - 1) : (x - 1)
d) r = 1161 - 1 = 1 - 1 = 0
2) Hallar el resto de las siguientes divisiones:
a) x3 - 4x2 + x - 2 por x - 3.
a) r = P(3) = 33 - 4·32 + 3 - 2 = 27 - 36 + 3 - 2 = - 8
b) x4 - 2x3 - 3x2 + 5x + 10 por x - 1.
b) r = P(1) = 14 - 2·13 - 3·12 + 5·1 + 10 = 1 - 2 - 3 + 5 + 10 = 11
c) x6 + 4x5 - 2x + 3 por x + 2.
c) r = P(-2) = (-2)6 + 4·(-2)5 - 2·(-2) + 3 = 64 - 128 + 4 + 3 = - 57
d) x3 - 3x2 + 4 por x - 3.
d) r = P(3) = 33 - 3·32 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4
3) Teorema del resto
1) Hallar a para que el polinomio P(x) = x3 - x2 + 2x - a sea divisible por x + 2.
Dividimos aplicando la regla de Ruffini:
Para que P(x) sea divisible por x + 7 el resto tiene que ser 0.
Es decir: - a - 16 = 0
Por lo tanto: a = -16
2) Hallar el valor de k para que al dividir P(x) = x4 - 2kx3 + x2 - 4kx + 9 por x + 1 el resto sea - 7.
Por el teorema del resto, se tiene que cumplir que: P(-1) = - 7
P(-1) = (-1)4 - 2k(-1)3 + (-1)2 - 4k(-1) + 9 = - 7
Es decir: 1 + 2k + 1 + 4k + 9 = 11 + 6k = - 7
O lo que es lo mismo: 6k = - 18
Por lo tanto: k = - 3
3) Siendo P(x) = x6 - 5x4 + 6x3 + ax2 + 4x + b, hallar a y b sabiendo que es divisible por x - 3 y por x + 1.
Si un polinomio es divisible por x - a por el teorema del resto se tiene que cumplir que P(a) = 0.
Es decir, P(3) = 0 y P(-1) = 0
P(3) = 36 - 5·34 + 6·33 + 9a + 12 + b = 0
Es decir, 729 - 405 + 162 + 9a + 12 + b = 0 , por lo tanto 9a + b = -498
P(-1) = (-1)6 -5·(-1)4 + 6(-1)3 + a(-1)2 - 4 + b = 0
Es decir, 1 - 5 - 6 + a - 4 + b = 0 , o lo que es lo mismo a + b = 14
A continuación resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Sustituyendo el valor de a en la ecuación a + b = 14 , se obtiene que b = 78
4) Teorema del resto
1) Hallar el valor de m para que el polinomio x3 + (m - 4)x2 - 2x - (2m + 1) sea divisible por x + 1.
Para hallar el valor de m aplicamos la regla de Ruffini e igualamos el resto a 0.
Por lo tanto se debe cumplir que: - m - 4 = 0
Es decir: m = - 4
2) Hallar un polinomio de tercer grado cuyo primer coeficiente sea la unidad, sabiendo que los restos que se obtienen al dividirlo por x + 1 , x - 1 y x + 2 son -2 , 0 y - 15 respectivamente.
El polinomio que buscamos es de la forma: x3 + ax2 + bx + c donde se tiene que verificar que:
P(-1) = - 1 + a - b + c = - 2
P(1) = 1 + a + b + c = 0
P(-2) = - 8 + 4a - 2b + c = -15
Resolvemos por lo tanto el siguiente sistema de ecuaciones:
5) Teorema del resto
1) Determinar el polinomio ax2 + bx + c sabiendo que es divisible por x + 2 , da restos iguales al dividirlo por x + 1 y por x + 3 , y que el término independiente es 4.
Como el término independiente es 4, buscamos un polinomio de la siguiente forma: ax2 + bx + 4
A continuación aplicamos la regla de Ruffini, dividiendo nuestro polinomio por x + 2 e igualando el resto a 0.
Por lo tanto obtenemos que: 4 - 2b + 4a = 0
Por otra parte, los restos de dividir el polinomio por x + 1 y por x + 3 son iguales.
Aplicamos la regla de Ruffini e igualamos los restos.
Por lo tanto obtenemos la siguiente igualdad: 4 - b + a = 4 - 3b + 9a
Es decir: 2b - 8a = 0
Para calcular los coeficientes a y b resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Por último, sustituyendo el valor de a en la ecuación 2b - 8a = 0 se obtiene que b = 4.