Ejercicios resueltos de inecuaciones de grado superior a dos

Resuelve la siguiente inecuación de tercer grado:

(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0     ⇔     x = 1   ,   x = -2   o   x = 3

Estudiamos los signos en los intervalos:     (-∞ , - 2) , (- 2 , 1) , (1 , 3) , (3 , ∞)

•  (-∞ , - 2):     x = - 3     ⇒     (x - 1)(x + 2)(x - 3) = (- 3 - 1)(- 3 + 2)(- 3 - 3) = (-4)(-1)(-6) = - 24 < 0

•  (-2 , 1):     x = 0     ⇒     (x - 1)(x + 2)(x - 3) = (- 1)·2·(-3) = 6 > 0

•  (1 , 3):     x = 2     ⇒     (x - 1)(x + 2)(x - 3) = (2 - 1)(2 + 2)(2 - 3) = 1·4·(-1) = - 4 < 0

•  (3 , ∞):     x = 4     ⇒     (x - 1)(x + 2)(x - 3) = (4 - 1)(4 + 2)(4 - 3) = 3·6·1 = 18 > 0

	(-∞ , - 2)	(-2 , 1)	(1 , 3)	(3 , ∞)
(x - 1)(x + 2)(x - 3)	-	+	-	+

El conjunto solución es:     [-2 , 1] ∪ [3 , ∞)

Incluimos los valores   x = - 2 ,  x = 1  y  x = 3  puesto que la desigualdad requiere que sea mayor o igual que 0.

Resuelve la siguiente inecuación de tercer grado:

x³ - x² - 20x = 0     ⇔     x (x² - x - 20) = 0     ⇔     x = 0     o     x² - x - 20 = 0

Factorizamos la inecuación:

            x(x - 5)(x + 4) > 0

Estudiamos los signos en los intervalos:     (-∞ , - 4) , (- 4 , 0) , (0 , 5) , (5 , ∞)

•  (-∞ , -4):    x = - 5     ⇒     x(x - 5)(x + 4) = (-5)(-5 - 5)(-5 + 4) = - 50 < 0

•  (-4 , 0):    x = - 1     ⇒     x(x - 5)(x + 4) = (-1)(-1 - 5)(-1 + 4) = 18 > 0

•  (0 , 5):    x = 1     ⇒     x(x - 5)(x + 4) = 1·(1 - 5)·(1 + 4) = - 20 < 0

•  (5 , ∞):    x = 6     ⇒     x(x - 5)(x + 4) = 6·(6 - 5)·(6 + 4) = 60 > 0

	(-∞ , - 4)	(-4 , 0)	(0 , 5)	(5 , ∞)
x(x - 5)(x + 4)	-	+	-	+

El conjunto de soluciones es:     (-4 , 0) ∪ (5 , ∞)

Resuelve la siguiente inecuación de tercer grado:

Factorizamos la inecuación:

6x⁴ - 17x³ + 7x² + 8x - 4 = (x - 1) (x - 2) (6x² + x - 2) < 0

Calculamos las raíces:

(x - 1) (x - 2) (6x² + x - 2) = 0    ⇔     x = 1    ,    x = 2    o    6x² + x - 2 = 0

Por tanto:

(x - 1) (x - 2) (6x² + x - 2) = (x -1)(x - 2)(x - 1/2)(x + 2/3) < 0

Estudiamos el signo en los intervalos:     (- ∞ , -2/3) , (-2/3 , 1/2) , (1/2 , 1) , (1 , 2), (2 , ∞)

•  (-∞ , -2/3):     x = - 1     ⇒     (x -1)(x - 2)(x - 1/2)(x + 2/3) = (-1 - 1)(-1 - 2)(-1 - 1/2)(-1 + 2/3) = (-2)(-3)(-3/2)(-1/3) > 0

•  (-2/3 , 1/2):     x = 0     ⇒     (x -1)(x - 2)(x - 1/2)(x + 2/3) = (- 1)(- 2)(- 1/2)(2/3) < 0

•  (1/2 , 1):     x = 3/4     ⇒     (x - 1)(x - 2)(x - 1/2)(x + 2/3) = (3/4 - 1)(3/4 - 2)(3/4 - 1/2)(3/4 + 2/3) = (-1/4)(1/4)(-5/4)(17/12) > 0

•  (1 , 2):     x = 3/2     ⇒     (x - 1)(x - 2)(x - 1/2)(x + 2/3) = (3/2 - 1)(3/2 - 2)(3/2 - 1/2)(3/2 + 2/3) = (1/2)(-1/2)(1)(13/6) < 0

•  (2 , ∞):     x = 3     ⇒     (x - 1)(x - 2)(x - 1/2)(x + 2/3) = (3 - 1)(3 - 2)(3 - 1/2)(3 + 2/3) = 2·1·5/2·11/3 > 0

	(-∞ , - 2/3)	(-2/3 , 1/2)	(1/2 , 1)	(1 , 2)	(2 , ∞)
(x -1)(x - 2)(x - 1/2)(x + 2/3)	+	-	+	-	+

El conjunto solución es:    (-2/3 ,1/2) ∪ (1 , 2)