Ejercicios resueltos de inecuaciones lineales con una incógnita

Resuelve las siguientes inecuaciones:

1)  x - √2 < 0

x - √2 < 0     ⇒     x < √2

2)  4x + 16 > 0

4x + 16 > 0     ⇒     4x > - 16     ⇒     x > - 4

3)  5 - 8x > -3

5 - 8x > - 3     ⇒     - 8x > - 3 - 5     

- 8x > - 8     ⇒     - x > - 1     ⇒     x < 1

Al cambiar el signo en ambos miembros, el sentido de la desigualdad cambia.

1) 2(x + 3) - 3x ≤ 6x + 4(1 - x)

      Para encontrar el conjunto de soluciones de la inecuación tenemos que despejar la incógnita x. Para ello:

      Operamos en ambos miembros de la desigualdad para suprimir los paréntesis:

            2x + 6 - 3x ≤ 6x + 4 - 4x

      Trasponemos términos:

            2x - 3x - 6x + 4x ≤ 4 - 6

      Reducimos términos semejantes:

            - 3x ≤ - 2

      Multiplicamos por (-1) en ambos miembros, por lo que cambia el sentido de la desigualdad, y obtenemos:

            3x ≥ 2

      Despejamos la variable x:

            

Por tanto, la inecuación dada se verifica para todos los números reales x mayores o iguales que

.

            

2)  2(x + 3) + 3(x - 1) > 2(x + 2)

2(x + 3) + 3(x - 1) > 2(x + 2)     ⇒     2x + 6 + 3x - 3 > 2x + 4

2x + 3x - 2x > 4 - 6 + 3     ⇒     3x > 1     ⇒     x > 1/3

3)  x(x - 1) > x² + 3x + 1

x(x - 1) > x² + 3x + 1     ⇒     x² - x > x² + 3x + 1

x² - x - x² - 3x > 1     ⇒     - 4x > 1     ⇒     x < - 1/4

Al cambiar el signo en ambos miembros, el sentido de la desigualdad cambia.

4)  (x - 1)² - 7 > (x - 2)²

(x - 1)² - 7 > (x - 2)²     ⇒     x² - 2x + 1 - 7 > x² - 4x + 4

x² - 2x - x² + 4x > 4 - 1 + 7     ⇒     2x > 10     ⇒     x > 5

5)  6(x² + 1) - (2x - 4)(3x + 2) < 3(5x + 21)

6(x² + 1) - (2x - 4)(3x + 2) < 3(5x + 21)     ⇒     6x² + 6 - 6x² - 4x + 12x + 8 < 15x + 63

- 4x + 12x - 15x < 63 - 6 - 8     ⇒     - 7x < 49     ⇒     x > - 7

Al cambiar el signo en ambos miembros, el sentido de la desigualdad cambia.

Resuelve las siguientes inecuaciones:

Aplicamos:    m.c.m.(4, 6) = 12

24 - 3(1 - x) < 72x - 2(3x + 1)     ⇒     24 - 3 + 3x < 72x - 6x - 2

24 - 3 + 2 < 72x - 6x - 3x     ⇒     23 < 63x     ⇒     23/63 < x

Aplicamos:   m.c.m.(5, 2, 4) = 20

4(3x - 3) - 10(4x + 8) < 5x - 60x     ⇒     12x - 12 - 40x - 80 < 5x - 60x

12x - 40x - 5x + 60x < 12 + 80     ⇒     27x < 92     ⇒     x < 92/27

Aplicamos:    m.c.m.(3, 8, 45) = 360

120x - 45(2x + 1) - 8(8 - 10x) > 0     ⇒     120x - 90x - 45 - 64 + 80x > 0

120x - 90x + 80x > 45 + 64     ⇒     110x > 109     ⇒     x > 109/110