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Ejercicios resueltos de tipos de ecuaciones de rectas.
Vector director y pendiente.

1 )   Indica un punto y un vector de las siguientes rectas:



2 )   Calcular la pendiente de las siguientes rectas:



3-a )   Escribe las ecuaciones generales de los ejes coordenados. ¿ Cúal es la ecuación paramétrica de cada uno ?


3-b )   Escribe la ecuación paramétrica y explícita de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Escribe también la de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante


4-a )   Dibuja la recta que pasa por el punto A ( -1 , 2 ) y que tiene de pendiente -3/5. Halla la ecuación de dicha recta.


4-b )   Hallar y representar la recta que pasa por los puntos A ( 2 , 1 ) y B ( 3 , 4 )


5 )   Calcula la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:

a ) La recta que pasa por el punto P ( 3 , 3 ) y lleva la dirección del vector u ( 2 , 1 ).
b ) La recta que pasa por los puntos A ( 2 , -1 ) y B ( 3 , 4 ).
c ) La recta que tiene como uno de sus vectores de dirección el u ( -1 , 2 ) y corta a la parte positiva del eje de abcisas en un punto que dista 2 unidades del origen de coordenadas.
d ) La recta que tiene como vector director U ( 1 , -4 ) y corta a la parte negativa del eje de abcisas en un punto que dista 5 unidades del origen de coordenadas.
e ) La recta que tiene por dirección la del vector u ( 5 , 6 ) y corta al eje de ordenadas en un punto que dista 1 unidad negativa del origen de coordenadas.


6 )   Representa y halla las distintas ecuaciones de la recta que pasa por el punto A ( 3 , 1 ) y tiene como vector director v ( 1 , -2 )


7 )   Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica, continua, general, explicita, punto pendiente y segmentaria de la recta que pasa por los puntos A ( 3 , 2 ) y B ( 1 , -1)


8 )   Dada la recta r :  x + 3y + 2 = 0 en forma general, escribirla en forma explícita, canónica, normal, continua y vectorial.


9 )   Dada la recta 3x + 2y = 4, ¿ qué tipo de ecuación es ? Hallar un punto, un vector normal, un vector director y la pendiente. Realizar también la representación gráfica.


10 )   ¿ Cúal es la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos A ( 2 , 1 ) y B ( 1 , -2 ) ? ¿ Para qué valores del parámetro se obtienen los puntos P y Q y el punto medio de P y Q ?


11 )   Calcular:
a ) ¿ Cúal es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A ( 2 , 2 ) y B ( 0 , 4 ) ?
b ) La ecuación explicita e implicita o general de la recta que pasa por los puntos P ( 1 , 4 ) y Q ( 2 , 3 )


12 )   Hallar todas las formas de la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A = ( 6 , 0 ) y B = ( 0 , -2 )


13 )   Escribe en forma explícita y continua la ecuación de la recta 2x + 3y = 6


14-a )   Determinar si los puntos A ( 3 , 1 )  B ( 5 , 2 )  C ( 1 , 0 ) están alineados. En caso afirmativo, escribe la ecuación de la recta que los contiene.


14-b )   Verifica si los puntos ( 2 , 1 ) , ( 1 , 5 )  y  ( 12 , 3 ) están alineados. En caso afirmativo, escribe la ecuación de la recta.


15-a )   ¿ Pertenece el punto P = ( 3 , 3 ) a la recta que pasa por los puntos A = ( 1 , -1 ) y B ( 2 , 1 ) ?

15-b )   ¿ Pertenece el punto P ( 0 , 5 ) a la recta determinada por el vector ( 1 , 3 ) y el punto ( 2 , 3 ) ?

16 )   Escribe en la forma normal las rectas r : 4x + 3y - 10 = 0  y  s : √3x - y + 4 = 0


17-a )   ¿ Cúal es la pendiente que pasa por los puntos A ( 0 , 1 ) y B ( 3 , 4 ) ?


17-b )   ¿ Cúal es el vector dirección y la pendiente de las siguientes rectas ?


18 )   Calcula la recta que pasa por el punto A ( 2 , 5 ) y forma con el eje de abcisas un ángulo de 30º. Expicar los pasos a seguir.


19-a )   Halla un vector normal y otro director de la recta   r: x - 2y + 3 = 0


19-b )   Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto   (7, 3)   y es paralela a la recta que tiene por ecuación   3x + y + 1 = 0 .


20-a )   Dada la ecuación de la recta   r :  5x - 7y - 11 = 0   hallar los valores de   p   y   ω   y reducirla a su forma normal.


20-b )   Hallar los cosenos directores de la recta   r :  3x + 4y - 8 = 0


21 )   Resumen de tipos de ecuaciones de rectas

1 )   Indica un punto y un vector de las siguientes rectas:




2 )   Calcular la pendiente de las siguientes rectas:




3-a )   Escribe las ecuaciones generales de los ejes coordenados. ¿ Cúal es la ecuación paramétrica de cada uno ?





3-b )   Escribe la ecuación paramétrica y explícita de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Escribe también la de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante



4-a )   Dibuja la recta que pasa por el punto A ( -1 , 2 ) y que tiene de pendiente -3/5. Halla la ecuación de dicha recta.




4-b )   Hallar y representar la recta que pasa por los puntos A ( 2 , 1 ) y B ( 3 , 4 )


5 )   Calcula la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:

a ) La recta que pasa por el punto P ( 3 , 3 ) y lleva la dirección del vector u ( 2 , 1 ).
b ) La recta que pasa por los puntos A ( 2 , -1 ) y B ( 3 , 4 ).
c ) La recta que tiene como uno de sus vectores de dirección el u ( -1 , 2 ) y corta a la parte positiva del eje de abcisas en un punto que dista 2 unidades del origen de coordenadas.
d ) La recta que tiene como vector director U ( 1 , -4 ) y corta a la parte negativa del eje de abcisas en un punto que dista 5 unidades del origen de coordenadas.
e ) La recta que tiene por dirección la del vector u ( 5 , 6 ) y corta al eje de ordenadas en un punto que dista 1 unidad negativa del origen de coordenadas.



6 )   Representa y halla las distintas ecuaciones de la recta que pasa por el punto A ( 3 , 1 ) y tiene como vector director v ( 1 , -2 )








7 )   Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica, continua, general, explicita, punto pendiente y segmenteria de la recta que pasa por los puntos A ( 3 , 2 ) y B ( 1 , -1)






8 )   Dada la recta r :  x + 3y + 2 = 0 en forma general, escribirla en forma explícita, canónica, normal, continua y vectorial.



9 )   Dada la recta 3x + 2y = 4, ¿ qué tipo de ecuación es ? Hallar un punto, un vector normal, un vector director y la pendiente. Realizar también la representación gráfica.






10 )   ¿ Cúal es la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos A ( 2 , 1 ) y B ( 1 , -2 ) ? ¿ Para qué valores del parámetro se obtienen los puntos P y Q y el punto medio de P y Q ?



11 )   Calcular:
a ) ¿ Cúal es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A ( 2 , 2 ) y B ( 0 , 4 ) ?
b ) La ecuación explicita e implicita o general de la recta que pasa por los puntos P ( 1 , 4 ) y Q ( 2 , 3 )





12 )   Hallar todas las formas de la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A = ( 6 , 0 ) y B = ( 0 , -2 )



13 )   Escribe en forma explícita y continua la ecuación de la recta 2x + 3y = 6



14-a )   Determinar si los puntos A ( 3 , 1 )  B ( 5 , 2 )  C ( 1 , 0 ) están alineados. En caso afirmativo, escribe la ecuación de la recta que los contiene.





14-b )   Verifica si los puntos ( 2 , 1 ) , ( 1 , 5 )  y  ( 12 , 3 ) están alineados. En caso afirmativo, escribe la ecuación de la recta.



15-a )   ¿ Pertenece el punto P = ( 3 , 3 ) a la recta que pasa por los puntos A = ( 1 , -1 ) y B ( 2 , 1 ) ?


15-b )   ¿ Pertenece el punto P ( 0 , 5 ) a la recta determinada por el vector ( 1 , 3 ) y el punto ( 2 , 3 ) ?


16 )   Escribe en la forma normal las rectas r : 4x + 3y - 10 = 0  y  s : √3x - y + 4 = 0



17-a )   ¿ Cúal es la pendiente que pasa por los puntos A ( 0 , 1 ) y B ( 3 , 4 ) ?



17-b )   ¿ Cúal es el vector dirección y la pendiente de las siguientes rectas ?




18 )   Calcula la recta que pasa por el punto A ( 2 , 5 ) y forma con el eje de abcisas un ángulo de 30º. Expicar los pasos a seguir.



19-a )   Halla un vector normal y otro director de la recta   r: x - 2y + 3 = 0


El producto escalar del vector normal y el vector director es 0:


19-b )   Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto   (7, 3)   y es paralela a la recta que tiene por ecuación   3x + y + 1 = 0 .


20-a )   Dada la ecuación de la recta   r :  5x - 7y - 11 = 0   hallar los valores de   p   y   ω   y reducirla a su forma normal.



ecuacion normal


 


Elegimos   ω2   ya que como se observa en el grafico, pertenece al cuarto cuadrante.


20-b )   Hallar los cosenos directores de la recta   r :  3x + 4y - 8 = 0



Por lo tanto, la ecuación normal es:



Resumen de tipos de ecuaciones de rectas

Ecuaciones Ejemplo

Ecuación vectorial:

Hallar la ecuación de la recta determinada por el punto P(3, 1) y el vector v(1, -2):

Ecuación paramétrica:

Ecuación continua:

Ecuación general:

Ecuación explícita:

Ecuación punto pendiente:

Hallar la ecuación de la recta determinada por el punto P(1, -3) y de pendiente: -2:

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(3, 2) y B(1, -1):

Ecuación canónica o segmentaria:

Escribe la ecuación canónica o segmentaria de la recta   3x + 5y = 15

Ecuación de la recta definida por un punto y un vector normal:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, 1) y tiene por vector normal n(2, 1):

Ecuación normal:

Halla la ecuación normal de la recta
2x + y - 7 = 0

Ecuación normal: