INICIOTeoremas sobre funciones derivables
Teorema de Cauchy
Sean f(x) y g(x) funciones continuas en [a, b] , derivables en (a, b) y tales que g(a)≠g(b) y g'(x0)≠0 para todo punto x0∈(a, b) , entonces existe, al menos, un valor c∈(a, b) tal que:
Este teorema también se conoce con el nombre de teorema del valor medio generalizado.
Ejemplo del teorema de Cauchy:
¿ Se puede aplicar el teorema de Cauchy a las funciones f(x) = x2 + 2x + 1 y
g(x) = x3 - 2x - 1 en el intervalo [-2, 1] ? En caso afirmativo, aplicarlo determinando
el punto en que se verifica.
Ambas funciones, por ser polinómicas, son continuas en el intervalo [-2, 1] y derivables en
(-2, 1) además de cumplirse que: g(-2) = -5 y g(1) = -2 ⇒ g(-2)≠g(1)
Por otra parte, tenemos que: g ' (x) = 3x2 - 2 ⇒ g ' (x) = 0 ⇔ 3x2 - 2 = 0
Es decir, se cumplen todas las condiciones del teorema de Cauchy. Por lo tanto, existe un punto
c∈(-2, 1) tal que:
Por lo tanto el punto en el que se verifica el teorema es:
