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Ejercicios del teorema del valor medio (teorema de Lagrange) y teorema de Cauchy

Indica si la función     f(x) = x(x-2)     verifica las hipótesis del teorema de valor medio (o teorema de Lagrange) en el intervalo     [0, 1]     y, en caso afirmativo, encontrar el punto intermedio cuya existencia asegura el teorema.


La función   f(x)   es una función polinómica, por lo que es continua y derivable en todo   R   y por tanto es continua en el intervalo   [0, 1]   y   derivable en   (0, 1)   respectivamente.

Además, tenemos que:     f(1) = -1   ,     f(0) = 0     y    f ' (x) = 2x - 2

Por lo tanto, según el teorema del valor medio o teorema de Lagrange, tenemos que existe un punto   c∈(-1, 0)   tal que:

teorema lagrange

Luego el punto pedido es:   A(1/2, -3/4)


grafica teorema lagrange

Indica si la función     f(x) = 2x + sen x       verifica las hipótesis del teorema de valor medio (o teorema de Lagrange) en el intervalo     [0, π]     y, en caso afirmativo, encontrar el punto intermedio cuya existencia asegura el teorema.


La función   f(x) = 2x + sen x   es continua en el intervalo   [0, π]   y derivable en   (0, π)  ,   por ser la suma de dos funciones continuas y derivables en R .

Además tenemos que:     f(π) = 2π   ,     f(0) = 0     y     f ' (x) = 2 + cos x   

Por lo tanto, según el teorema del valor medio o teorema de Lagrange, tenemos que existe un punto   c∈(0, π)   tal que:

teorema lagrange

Luego el punto pedido es:   A(π/2, 1+π )


grafica teorema lagrange

Hallar un punto de la curva   y = x2   donde la tangente es paralela a la cuerda de extremos los puntos   (0, 0)   y   (2, 4).


Por tratarse de una función polinómica es continua y derivable en toda la recta real y en particular en el intervalo cerrado   [0, 2] .

Por lo tanto se puede aplicar el teorema del valor medio, es decir, existe un punto   c∈(0, 2)   tal que:

teorema lagrange

teorema lagrange

Es decir, el punto es:    A(1, 1).

Sea     f(x) = | cos x |    en     (-π, π)
¿Es aplicable el teorema del valor medio o teorema de Lagrange?
En caso afirmativo, hallar el valor que aparece en el teorema.


Como en la función interviene el valor absoluto, hay que definir la función por ramas:

teorema lagrange

La función es continua en     (-π, π)   y derivable en   (-π, -π/2) ∪ (-π/2, π/2) ∪ (π/2, π)

Por lo tanto, para ver que pasa en los puntos   -π/2     y     π/2   calculamos la derivada laterales aplicando la definición:

teorema lagrange

Por lo tanto no existe la derivada en     π/2 .

De manera análoga, tampoco existe la derivada en     -π/2 .

Determinar, si es posible,     a     y     b     para que el teorema del valor medio (o teorema de Lagrange) sea aplicable a la siguiente función en el intervalo   [-2, 0] :

teorema lagrange


Para poder aplicar el teorema del valor medio o teorema de Lagrange, la función ha de ser continua en el intervalo   [-2, 0] .    Cada una de las ramas son funciones continuas en sus intervalos de definición, por lo que tenemos que estudiar la continuidad para el punto    x = -1 :

teorema lagrange

Por lo tanto, para que la función sea continua en    x = -1    tiene que darse que:

teorema lagrange

Por otra parte, para aplicar el teorema del valor medio o teorema de Lagrange, la función tiene que ser derivable en el intervalo    (-2, 0) :

teorema lagrange

Es decir, para que la función sea derivable en el intervalo   (-2, 0)    tiene que cumplirse que:    a = 1

Sustituyendo dicho valor en la condición que se obtuvo anteriormente, tenemos que:

teorema lagrange

Por lo tanto, para que se pueda aplicar el teorema del valor medio o teorema de Lagrange a la función, se tiene que cumplir que:     a = 1     y     b = 3

¿ Se puede aplicar el teorema de Cauchy a las funciones    f(x) = x2 + 2x + 1    y    g(x) = x3 - 2x - 1    en el intervalo    [-2, 1] ?    En caso afirmativo, aplicarlo determinando el punto en que se verifica.

Ambas funciones, por ser polinómicas, son continuas en el intervalo   [-2, 1]   y derivables en   (-2, 1)   además de cumplirse que:     g(-2) = -5     y     g(1) = -2      ⇒     g(-2)≠g(1)

Por otra parte, tenemos que:     g ' (x) = 3x2 - 2     ⇒     g ' (x) = 0     ⇔     3x2 - 2 = 0

ejemplo teorema cauchy

Es decir, se cumplen todas las condiciones del teorema de Cauchy. Por lo tanto, existe un punto    c∈(-2, 1)    tal que:

teorema cauchy

teorema cauchy

Por lo tanto el punto en el que se verifica el teorema es:

teorema cauchy

Aplicar el teorema de Cauchy a las funciones    f(x) = sen x     y     g(x) = cos x     en el intervalo    [0, π/2] .

Las funciones trigonométricas     f(x) = sen x     y     g(x) = cos x     son funciones continuas y derivables en todo R y por tanto lo son en el intervalo    [0, π/2]    y    (0, π/2).

Además se cumple que:

•   g(0) = 1     y     g(π/2) = 0     ⇒     g(0)≠g(π/2)

•   g ' (x) = - sen x ≠ 0     para todo    x∈(0, π/2)

Es decir, se cumplen todas las condiciones del teorema de Cauchy.

Por lo tanto, existe un punto    c∈(π/2)    tal que:

teorema cauchy

teorema cauchy

¿ Se puede aplicar el teorema de Cauchy a las funciones    f(x) = x2     y     g(x) = x3     en el intervalo    [-1, 1] ?

Las funciones polinómicas     f(x) = x2     y     g(x) = x3     son funciones continuas y derivables en todo R y por tanto lo son en el intervalo    [-1, 1]    y    (-1, 1)    respectivamente.

Además se cumple que:     g(-1) = -1     y     g(1) = 1     ⇒     g(-1)≠g(1)

Como     g ' (x) = 3x2 = 0     cuando     x = 0∈(-1, 1)    no se puede aplicar el teorema de Cauchy a dichas funciones en el intervalo    [-1, 1] .

Sean    f(x) = 3x4 - 2x3 - x2 + 1    y     g(x) = 4x3 - 3x2 - 2x
Comprobar que no existe ningún punto    t∈(0, 1)   en el que se cumple:

        teorema cauchy

Las funciones polinómicas son funciones continuas y derivables en todo R y por tanto lo son en el intervalo    [0, 1]    y    (0, 1)    respectivamente.

Además se cumple que:     g(0) = 0     y     g(1) = -1     ⇒     g(0)≠g(1)

Por otra parte tenemos que:

teorema cauchy

Es decir, existe un punto    c∈(0, 1)    tal que    g ' (c) = 0    por lo que no se cumple una de las hipótesis del teorema de Cauchy.

Por lo tanto, no existe ningún punto    t∈(0, 1)     tal que:

teorema cauchy