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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hôpital

Calcula los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital:

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

Calcula los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital:

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

Calcula los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital:

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

Calcula los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital:

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital

Calcula los siguientes límites:

regla hopital


regla hopital

regla hopital

regla hopital


regla hopital

Calcula los siguientes límites:

regla hopital


regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital


regla hopital

regla hopital


regla hopital

regla hopital

No es necesario aplicar la regla de L'Hôpital porque se resuelve multiplicando numerador y denominador por el conjugado.

Ver ejercicios resueltos de este tipo.

Calcula los siguientes límites:

regla hopital


1)     Para calcular este límite no es necesario aplicar la regla de L'Hôpital porque se resuelve multiplicando numerador y denominador por el conjugado.

Ver ejercicios resueltos de este tipo.


2)   Como la función   ex   se comporta de manera distinta en   -∞   y en   +∞  ,  estudiamos los límites laterales:

regla hopital

regla hopital

regla hopital

regla hopital


grafica arcotangente

Calcula los valores de   λ ≠ 0   para los cuales:

regla hopital

regla hopital

regla hopital

Por lo tanto, el valor de   λ   para que el límite valga   - 1   es:

regla hopital

Calcula los valores de   a   y   b   para los cuales:

regla hopital

regla hopital

Como el límite debe valer   1   (límite finito) se tiene que cumplir que   b = 0

(para cualquier otro valor de   b   el límite sería   ±∞)

regla hopital

Por lo tanto, el valor de   a   es:

regla hopital

Determina las asíntotas horizontales de la siguientes funciones hallando su dominio y las discontinuidades:

regla hopital

1)   El dominio de la función   f(x)   es   (0, +∞) . Por lo tanto estudiamos el límite cuando la función tiende a   +∞ :

regla hopital

Por lo tanto, la función   f(x)   tiene una asíntota horizontal   y = 0   quedando la gráfica por encima de la asíntota.


grafica regla hopital


2)   El dominio de la función   g(x)   es   (0, 1) ∪ (1, +∞)  ,   puesto que la función   ln x   está definida en el intervalo   (0, +∞)   y porque el denominador se anula para   x = 1 .

Ocurre que la función en el punto   x = 1   toma el siguiente valor:

regla hopital

Es decir, la función en este punto se anula tanto en el numerador como en el denominador.

La función no tiene asíntota vertical en x = 1   sino una discontinuidad evitable según se demuestra aplicando la regla de L'Hôpital:

regla hopital

regla hopital

Por lo tanto, aunque la función no esté definida en   x = 1   se podría extender por continuidad en   x = 1   dándole el valor  1 , dado que se trata de una discontinuidad evitable.

Por último, estudiamos las asíntotas horizontales de la función, es decir, el límite cuando la función tiende a   +∞   puesto que según el dominio, la función no está definida para valores negativos::

regla hopital

regla hopital

Por lo tanto, la función   g(x)   tiene una asíntota horizontal   y = 0   quedando la gráfica por encima de la asíntota.


grafica x ln x

Halla los puntos de discontinuidad de la función, donde   x   está expresado en radianes:

regla hopital


Para hallar el dominio de la función, estudiamos por separado el dominio del numerador y del denominador. El dominio de la función tangente es el siguiente:

dominio funcion tangente

Por otra parte, el denominador se anula para   x = 0  ,  por lo que se puede concluir que:

dominio funcion tangente

Ocurre que la función en el punto   x = 0   toma el siguiente valor:

discontinuidad evitable

Es decir, la función en este punto se anula tanto en el numerador como en el denominador.


grafica tangente partido por x

La función no tiene asíntota vertical en   x = 0   sino una discontinuidad evitable según se demuestra aplicando la regla de L'Hôpital:

regla hopital

Por lo tanto, aunque la función no esté definida en   x = 0   se podría extender por continuidad en   x = 0   dándole el valor  1 , dado que se trata de una discontinuidad evitable.

Sea f una función definida por:

regla hopital

a)   Obtener   c   para que   f   sea continua en  x = 0 .
b)   Obenter   b   para que   f   sea derivable en  x = 0 .

a)   Obtener   c   para que   f   sea continua en  x = 0 .

Para que  f  sea continua en  x = 0  los límites laterales tienen que coincidir con   f(0) :

f(0) = 0 + 0 + c = c

regla hopital

Para resolver la indeterminación  0/0  hemos aplicado la regla del l'Hôpital.

Por tanto:      c = 1


b)   Obenter   b   para que   f   sea derivable en  x = 0 .

Para que f sea derivable en x = 0 , las derivadas laterales en dicho punto tienen que coincidir.

Si x ≤ 0 :      f(x) = x2 + bx + c      ⇒      f '(x) = 2x + b
                                                                   f '(0- ) = b

Si x > 0 :
regla hopital

Para resolver la indeterminación aplicamos la regla de l'Hôpital dos veces:

regla hopital

Por tanto,  f  es derivable en   x = 0   si :

f '(0- ) = f(0+ )      ⇔      b = - 1/2


Para calcular la derivada lateral en  0+  hemos aplicado la definición de derivada en un punto, pero tambíen podríamos haber calculado la derivada por la regla correspondiente y depués haber hallado el límite.

Para calcular dicho límite habrá que aplicar dos veces la regla de l'Hôpital.


Conclusión:

Si   c = 1  y  b = -1/2  la función es continua y derivable en x = 0.