INICIOTeorema del encaje o teorema del sandwich
Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) para todos los puntos de x en un intervalo abierto que contiene a a , por la posible excepción de la propia x = a , y si:
entonces el límite cuando x →a de la función f existe y es igual a L .
Aplicación del Teorema del encaje
1) Hallar el intervalo o intervalos donde cada función es continua:
La función y = 1/x es continua excepto en x = 0 y la función seno es continua para todos los valores reales de x .
Por tanto y = sen (1/x) es continua en todos los valores reales excepto en x = 0 .
Cuando f(x) = sen (1/x) se aproxima a 0 f(x) oscila entre - 1 y 1 , por consiguiente el límite no existe.
Por tanto f(x) es continua en los intervalos (-∞, 0) ∪ (0, +∞) .
2) Hallar el intervalo o intervalos donde cada función es continua:
Aplicando el teorema del encaje:
Además, tenemos que:
Por tanto, la función g(x) es continua en toda la recta real.
