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Límites y continuidad

Límites que conviene conocer


No existen:

límites elementales


Infinitos:

límites del logaritmo


Finitos:

límites finitos


Calcula

límite en el infinito

cuando:

funciones selectividad


función selectividad

límite selectividad

límite selectividad



función selectividad

selectividad límites

selectividad límites



funciones de selectividad

límites selectividad

límites de selectividad


Calcular:

límites de selectividad


Como hay una expresión exponencial, diferenciaremos los casos   + ∞   y   - ∞ .


límite de selectividad


Para resolver los límites:

límites

Tenemos que tener en cuenta de que se tratan de cocientes entre una función acotada y otra que tiende a infinito.

acotación e infinito

Por lo que ambos límites valen 0 .


límite selectividad


La función seno es una función impar, por tanto:     sen(-x) = - sen x

La función coseno es una función par, por tanto:     cos(-x) = cos x

Por otro lado, tenemos que:

límite exponencial

Por tanto, calcular el límite anterior es análogo a calcular el siguiente:

límite selectividad

Este límite no existe, ya que cuando   x → +∞   la función tangente no tiende a un único valor de R , sino que se mueve en el intervalo (-infin; , +∞).

Si

límite de inversa del logaritmo

calcula su límite en los puntos  7 ,  -3 ,  1   y  0 .


límite logaritmo


límite del logaritmo


límite de la inversa del logaritmo


límite del logaritmo en 0

Hallar el intervalo o intervalos donde cada función es continua:

selectividad teorema del sandwich


La función   y = 1/x   es continua excepto en   x = 0   y la función seno es continua para todos los valores reales de   x .

Por tanto   y = sen (1/x)   es continua en todos los valores reales excepto en   x = 0 .

Cuando   f(x) = sen (1/x)   se aproxima a   0   f(x)   oscila entre   - 1   y   1 ,  por consiguiente el límite no existe.

Por tanto   f(x)   es continua en los intervalos   (-∞, 0) ∪ (0, +∞) .


teorema del sandwich



selectividad teorema del sandwich


Aplicando el teorema del encaje:

teorema encaje

Además, tenemos que:

teorema encaje

Por tanto, la función   g(x)   es continua en toda la recta real.


teorema del sandwich

Sea f: R → R la función definida por:

         selectividad continuidad

Estudiar la continuidad de f.

Para   x ≠ 0   la función  f   es continua por ser el producto de funciones continuas.

Para ver si es continua en   x = 0   estudiamos el límite:

  f(0) = 0

Observamos que la función   sen(1/x)  está acotada:     -1 ≤ sen (1/x) ≤ 1     ⇔     |sen(1/x)| ≤ 1

límite selectividad


Por tanto:

continuidad en un punto


La función f es continua en todo R .

estudiar derivabilidad

Estudia la continuidad en el intervalo   [0 , 4]   de la siguiente función:

ejercicios selectividad


Las funciones que definen a   f   son funciones polinómicas, por lo que son continuas en todo R , en particular, lo son en   (0 , 1)   y   (1 , 4)   respectivamente.

Por tanto, la función f es continua en los intervalos:   (0 , 1) ∪ (1 , 4)

Estudiamos la continuidad en el punto de unión:    x = 1


   f(1) = 13 - 6·12 + 9·1 + 1 = 5

límites laterales en un punto


Como los límites laterales coinciden, el límie cuando   x → 1   existe y vale:

límite en un punto


Se cumple la condición de continuidad en un punto:

continuidad en un punto


Luego la función es continua también en   1,  y por tanto, es continua en todo el intervalo:    (0 , 4)