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Teorema de Bolzano

Si una función es continua en un intervalo cerrado   [a, b]   y   signo f(a) ≠ signo f(b) ,  entonces existe un   c ∈ [a, b]   tal que   f(c) = 0 .


Si una función es continua en un intervalo cerrado y en su extremo toma valores de distinto signo, entonces corta al eje X en ese intervalo.


               teorema bolzano


Aplicación del Teorema de Bolzano

Probar que la ecuación   x3 - 4x - 2 = 0   tiene alguna raíz real, aproximando su valor hasta las décimas.

Consideramos la función   f(x) = x3 - 4x - 2   la cual es continua por ser polinómica.

Tanteando, tenemos que   f(2) = - 2   y   f(3) = 13

Es decir, tenemos una función continua en el intervalo   [2, 3]   donde   signo de f(2) ≠ signo de f(3) .

Por lo tanto, por el Teorema de Bolzano, existe un   c ∈ [2, 3]   tal que   f(c) = 0 .


Para aproximar la solución a la décima seguimos tanteando:   f(2,2) = - 0,152   y   f(2,3) = 0,967

Tememos una función cotinua en el intervalo   [2,2, 2,3]   donde   signo de f(2,2) ≠ signo de f(2,3) .

Es decir, existe un   c ∈ [2,2, 2,3]   tal que   f(c) = 0 .


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